Афінна комбінація

Афінна комбінація — загальна назва операції, яка в векторних чи афінних просторах для певної скінченної множини точок чи векторів і множини скалярів тої ж потужності визначає деякий інший елемент векторного чи афінного простору.

Визначення

Векторні простори

Для векторних просторів афінна комбінація — лінійна комбінація векторів $x_1,\dots ,x_n$ векторного простору $V$ над полем $F$:

$\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{x}_i={\alpha }_1{x}_1+{\alpha }_2{x}_2+\cdots +{\alpha }_n{x}_n$,

сума коефіцієнтів в якій дорівнює 1, тобто:

$\sum _{i=1}^n{\alpha }_i=1$.

Афінні простори

Якщо ${\lambda }_1+\cdots +{\lambda }_n=1,$ нехай $g$ позначає єдину точку афінного простору для якої

${\lambda }_1\overrightarrow{o{a}_1}+\cdots +{\lambda }_n\overrightarrow{o{a}_n}=\overrightarrow{og},$

для деякої точки $o.$

З означення афінного простору точка $g$ не залежить від вибору початкової точки $o.$ Тому для

${\lambda }_1+\cdots +{\lambda }_n=1,$

можна просто записати як

$g={\lambda }_1{a}_1+\cdots +{\lambda }_n{a}_n.$

Точку $g$ називають афінною комбінацією точок $a_i$ з коефіцієнтами ${\lambda }_i.$

Афінна оболонка і незалежність

Для довільної підмножини S векторного чи афінного простору її афінна оболонка визначається як:

$\mathrm{aff}(S)=\left\{\sum _{i=1}^k{\alpha }_i{x}_i\right|k>0,x_i\in S,{\alpha }_i\in ℝ,\sum _{i=1}^k{\alpha }_i=1\}.$

Елементи деякої множини S називаються афінно незалежними, якщо жоден елемент цієї множини не належить афінній оболонці інших елементів. Еквівалентно якщо $o\in S$ — довільна точка підмножини S афінного чи векторного простору, то елементи множини S називаються афінно незалежними, якщо множина векторів $S\setminus o-o$ є лінійно незалежною. Для векторного простору розмірності n можна дати еквівалентне означення: якщо ${\lambda }_1+\cdots +{\lambda }_k=0$ і $\sum _{i=1}^k{\alpha }_i{x}_i=0x_i\in S,$, то звідси випливає що ${\lambda }_1={\lambda }_2=\dots ={\lambda }_k=0.$

Для афінно незалежної множини жоден елемент її афінної оболонки визначений однозначно. Зокрема для афінного простору розмірності n афінно незалежна множина може мати щонайбільше n+1 точку. Кожна точка афінного простору однозначно визначається як афінна комбінація максимальної системи афінно незалежних векторів. Відповідні скаляри ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_{n+1}$ називаються барицентричними координатами точки.

Властивості

Операція афінної комбінації комутує з будь-яким афінним перетворенням $T$ в тому сенсі, що:

$T\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{x}_i=\sum _{i=1}^n{\alpha }_{i}T{x}_i$.

Зокрема, будь-яка афінна комбінація нерухомих точок заданого афінного перетворення $T$ є також нерухомою точкою $T$, так що множина нерухомих точок $T$ утворює Афінний підпростір

Коли стохастична матриця $A$ діє на вектор-стовпець $B$, результатом буде вектор-стовпець, елементи якого є афінними комбінаціями елементів $B$ з коефіцієнтами з рядків матриці $A$.

Див. також

• Лінійна комбінація
• Опукла комбінація
• Конічна комбінація
• Афінний простір
• Афінне перетворення

Джерела

• Шаблон:Книга

Посилання

• Notes on affine combinations. Шаблон:Webarchive