Стохастична матриця

Стохасти́чна ма́триця — матриця, усі елементи якої є невід'ємними, а сума елементів рядків чи стовпців рівна одиниці. Стохастичні матриці широко використовуються в теорії ймовірностей, зокрема при вивченні ланцюгів Маркова.

Визначення

• Матриця $P=(p_{ij})$ називається стохасти́чною справа (або просто стохастичною), якщо

$p_{ij}\ge 0,\mathrm{\forall }i,j$ та $\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_{ij}=1,\mathrm{\forall }i.$

• Матриця називається стохасти́чною злі́ва, якщо

$p_{ij}\ge 0,\mathrm{\forall }i,j$ та $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_{ij}=1,\mathrm{\forall }j.$

• Матриця називається двічі стохасти́чною, якщо вона стохастична справа і зліва.

Зв'язок із ланцюгами Маркова

Стохастична матриця є матрицею ймовірностей переходів деякого ланцюга Маркова. Якщо імовірність переходу зі стану i в стан j рівна $p_{ij}$ то наведена нижче матриця буде очевидно стохастичною:

$P=\left(\begin{array}{ccccc}{p}_{1,1}& p_{1,2}& \dots & p_{1,j}& \dots \\ p_{2,1}& p_{2,2}& \dots & p_{2,j}& \dots \\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& \ddots \\ p_{i,1}& p_{i,2}& \dots & p_{i,j}& \dots \\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& \ddots \end{array}\right)$

Властивості

• Якщо $P$ та $Q$ — дві матриці стохастичні зліва (справа, двічі), то і їх добуток $R=PQ$ теж є стохастичною зліва (справа, двічі) матрицею.

Справді розглянемо стохастичну справа матрицю, для інших доведення аналогічне. Сума елементів i-го рядка матриці $PQ$ дорівнює:

$\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_{ik}{q}_{kj}=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_{ij}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{q}_{jk}=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_{ij}\cdot 1=1$

тобто добуток матриць є стохастичною матрицею.

Скінченна стохастична матриця

Якщо стохастична матриця є скінченною, то її спектральний радіус (найбільше абсолютне значення її власних чисел) є рівним одиниці. Очевидно, що 1 є власним значенням будь-якої стохастичної матриці. Для (правої) стохастичної матриці вектор, усі елементи якого рівні 1, буде власним вектором. Для власного значення 1 також існує лівий власний вектор, усі елементи якого є невід'ємними.

Якщо до того ж матриця є нерозкладною, то, згідно з теоремою Перрона — Фробеніуса, 1 буде простим власним значенням (простим коренем характеристичного многочлена) і, якщо $\mathit{\pi }$ — лівий власний вектор, що відповідає одиниці, тобто:

$\mathit{\pi }P=\mathit{\pi }$,

то всі елементи цього вектора є додатними. До того ж $\mathit{\pi }$ буде єдиним лівим власним вектором, усі елементи якого є невід'ємними дійсними числами.

Скінченна стохастична матриця $P=(p_{ij}),i,j=1,\dots ,N$ називається регуля́рною, якщо існує таке $n\in \mathbb{N}$, що

$p_{ij}^{(n)}>0,\mathrm{\forall }i,j=1,\dots ,N$,

де $p_{ij}^{(n)}$— елементи $n$-ї степені матриці $P$, тобто $P^n=\left(p_{ij}^{(n)}\right)$.

Якщо $P$ — регулярна стохастична матриця, то

$P^n\to {\mathrm{𝟏}}^{\mathrm{\top }}\mathit{\pi }$,

де $\mathrm{𝟏}=(1,\dots ,1)$ — вектор розмірності $N\times 1$, усі елементи якого рівні одиниці, а $\mathit{\pi }$  — визначений раніше власний вектор.

Див. також

• Ланцюги Маркова
• Теорема Перрона — Фробеніуса
• Двічі стохастична матриця

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць
• Шаблон:Карташов.Імовірність процеси статистика
• Шаблон:Гнеденко.Курс теории вероятностей
• Шаблон:Гіхман.Скороход.Ядренко
• Шаблон:Гихман.Скороход.Введение в теорию случайных процессов
• Bapat R. B., Raghavan T. E. S. Nonnegative matrices and applications, Cambridge University Press, 1997, ISBN 0-521-57167-7