Зв'язність Леві-Чивіти

В рімановій геометрії, зв'язністю Леві-Чивіти називається особлива афінна зв'язність на дотичному розшаруванні (псевдо)ріманового многовиду. Дана зв'язність не має кручень і узгоджується з (псевдо)рімановою метрикою. Для кожного (псевдо)ріманового многовиду існує єдина зв'язність Леві-Чивіти, що має багато важливих властивостей і є одним з основних об'єктів вивчення у рімановій геометрії. Названа на честь італійського математика Тулліо Леві-Чивіти.

Визначення

Нехай g — псевдоріманова метрика класу $C^k$ на гладкому многовиді M, тобто сім'я симетричних білінійних невироджених форм g_x на дотичних просторах $T_{x}M$, таких, що для довільних векторних полів X і Y класу $C^k$, функція g(X,Y) належить до класу $C^k$. Сигнатура g є локально сталою величиною. Якщо білінійна форма g_x є додатноозначеною в кожній точці x то g називається рімановою метрикою.

Нехай $\mathrm{\nabla }$ — афінна зв'язність, тобто оператор, що для довільних векторних полів X і Y класу $C^k$ однозначно визначає векторне поле ${\mathrm{\nabla }}_{X}Y$ того ж класу, так що для $C^k$-поля $Z$ і $C^k$-функції $f$ виконуються умови:

$\begin{array}{cc}& {\mathrm{\nabla }}_X(Y+Z)={\mathrm{\nabla }}_{X}Y+{\mathrm{\nabla }}_{X}Z\\ & {\mathrm{\nabla }}_{X+Y}Z={\mathrm{\nabla }}_{X}Z+{\mathrm{\nabla }}_{Y}Z\\ & {\mathrm{\nabla }}_X(fY)=f{\mathrm{\nabla }}_{X}Y+X(f)Y\\ & {\mathrm{\nabla }}_{fX}Y=f{\mathrm{\nabla }}_{X}Y.\end{array}$

Дана афінна зв'язність $\mathrm{\nabla }$ називається зв'язністю Леві-Чивіти якщо вона додатково задовольняє умови :

1. $\mathrm{\nabla }$ є зв'язністю без кручень, тобто її тензор кручення є нульовим: для всіх векторних полів $X$ і $Y$ відповідного класу,${\mathrm{\nabla }}_{X}Y-{\mathrm{\nabla }}_{Y}X=[X,Y]$ ;
2. $g$ є паралельною: для всіх векторних полів $X$, $Y$ і $Z$ відповідного класу, справедливою є рівність :

$Z\cdot g(X,Y)=g({\mathrm{\nabla }}_{Z}X,Y)+g(X,{\mathrm{\nabla }}_{Z}Y)$.

Одним із найважливіших результатів ріманової геометрії є твердження про існування і єдиність зв'язності Леві-Чивіти для всіх (псевдо)ріманових многовидів.

Доведення

• Єдиність : Припустимо існування зв'язності Леві-Чивіти і доведемо її єдиність. Нехай метрика g є паралельною для зв'язності Леві-Чивіти, для всіх векторних полів $X$, $Y$ і $Z$, маємо :$X\cdot g(Y,Z)=g({\mathrm{\nabla }}_{X}Y,Z)+g(Y,{\mathrm{\nabla }}_{X}Z)$,$Y\cdot g(Z,X)=g({\mathrm{\nabla }}_{Y}Z,X)+g(Z,{\mathrm{\nabla }}_{Y}X)$,$Z\cdot g(X,Y)=g({\mathrm{\nabla }}_{Z}X,Y)+g(X,{\mathrm{\nabla }}_{Z}Y)$.Додавши перші дві рівності і віднявши третю отримуємо :$X\cdot g(Y,Z)+Y\cdot g(Z,X)-Z\cdot g(X,Y)=g({\mathrm{\nabla }}_{X}Y+{\mathrm{\nabla }}_{Y}X,Z)+g({\mathrm{\nabla }}_{X}Z-{\mathrm{\nabla }}_{Z}X,Y)+g({\mathrm{\nabla }}_{Y}Z-{\mathrm{\nabla }}_{Z}Y,X).$Зважаючи на відсутність кручень, цей вираз можна спростити :$2g({\mathrm{\nabla }}_{X}Y,Z)=X\cdot g(Y,Z)+Y\cdot g(Z,X)-Z\cdot g(X,Y)+g([X,Y],Z)+g([Z,X],Y)-g([Y,Z],X)$.Зважаючи на невиродженість g, зв'язність $\mathrm{\nabla }$ є однозначно визначеною у всіх випадках.
• Існування : Для всіх векторних полів X і Y на M визначимо векторне поле ${\mathrm{\nabla }}_{X}Y$, що є єдиним векторним полем на M, яке задовольняє вище отриману рівність :$2g({\mathrm{\nabla }}_{X}Y,Z)=X\cdot g(Y,Z)+Y\cdot g(Z,X)-Z\cdot g(X,Y)+g([X,Y],Z)+g([Z,X],Y)-g([Y,Z],X)$.Тоді оператор $\mathrm{\nabla }$ є афінною зв'язністю. Справді, для всіх функцій f:$2g({\mathrm{\nabla }}_X(fY),Z)=X\cdot g(fY,Z)+(fY)\cdot g(Z,X)-Z\cdot g(X,fY)+g([X,fY],Z)+g([Z,X],fY)-g([fY,Z],X)$$=df(X).g(Y,Z)-df(Z).g(X,Y)+df(X).g(Y,Z)+df(Z).g(X,Y)+f.2g({\mathrm{\nabla }}_{X}Y,Z)$$=2g(df(X).Y+f{\mathrm{\nabla }}_{X}Y,Z)$$2g({\mathrm{\nabla }}_{fX}Y,Z)=(fX)\cdot g(Y,Z)+Y\cdot g(Z,fX)-Z\cdot g(fX,Y)+g([fX,Y],Z)+g([Z,fX],Y)-g([Y,Z],fX)$$=df(Y).g(Z,X)-df(Z).g(X,Y)-df(Y).g(X,Z)+df(Z).g(X,Y)+f.2g({\mathrm{\nabla }}_{X}Y,Z)$$=2g(f{\mathrm{\nabla }}_{X}Y,Z)$.$\mathrm{\nabla }$ є зв'язністю без кручень:$2g({\mathrm{\nabla }}_{X}Y-{\mathrm{\nabla }}_{Y}X,Z)=X\cdot g(Y,Z)+Y\cdot g(Z,X)-Z\cdot g(X,Y)+g([X,Y],Z)+g([Z,X],Y)-g([Y,Z],X)$$-Y\cdot g(X,Z)-X\cdot g(Z,Y)+Z\cdot g(Y,X)-g([Y,X],Z)-g([Z,Y],X)+g([X,Z],Y)$$=2g([X,Y],Z)$.Нарешті, g є паралельною метрикою для $\mathrm{\nabla }$:$2g({\mathrm{\nabla }}_{X}Y,Z)+2g(Y,{\mathrm{\nabla }}_{X}Z)=X\cdot g(Y,Z)+Y\cdot g(Z,X)-Z\cdot g(X,Y)+g([X,Y],Z)+g([Z,X],Y)-g([Y,Z],X)$$+X\cdot g(Z,Y)+Z\cdot g(Y,X)-Y\cdot g(X,Z)+g([X,Z],Y)+g([Y,X],Z)-g([Z,Y],X)$$=2X\cdot g(Y,Z)$.Тобто $\mathrm{\nabla }$ задовольняє всі умови з визначення зв'язності Леві-Чивіти.

Запис в локальних координатах

Розглянемо тепер локальні координати $x_1\dots x_n$ у рімановому многовиді і відповідний локальний базис у дотичних просторах $e_i=\frac{\partial }{\partial x_i}$ .

Позначимо $g_{ij}=g(e_i,e_j)$ компоненти метричного тензора g в цьому локальному базисі. Визначені властивості зв'язності Леві-Чивіти можна подати через символи Крістоффеля ${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k$, що визначаються з рівностей  :

${\mathrm{\nabla }}_{e_i}{e}_j=\sum _{k=1}^n{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k{e}_k$

Символи Крістофеля для  :

${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k=\frac{1}{2}\sum _{m=1}^n{g}^{km}(\frac{\partial g_{mi}}{\partial x^j}+\frac{\partial g_{mj}}{\partial x^i}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^m}).$

де $g^{km}$ є відповідними елементами матриці оберненої до матриці $g_{ij}$.

Див. також

• Ріманова геометрія
• Афінна зв'язність
• Ріманів многовид

Джерела

• Шаблон:Cite book Шаблон:Ref-en
• Шаблон:Citation Шаблон:Ref-en
• Шаблон:Cite book Шаблон:Ref-en
• Шаблон:Cite book Шаблон:Ref-en