Експоненційне відображення

Експоненційне відображення — узагальнення поняття експоненційної функції та експоненти матриці в диференціальній геометрії і зокрема рімановій геометрії.

Для многовида $M$ на якому задано деяку афінну зв'язність експоненціальне відображення діє з дотичного розшарування $TM$ у многовид $M$ .

Експоненційне відображення зазвичай позначається $\exp :TM\to M$, а його звуження на дотичний простір $T_{p}M$ в точці $p\in M$ позначається ${\exp }_p:T_{p}M\to M$ і називається експоненційним відображенням в точці $p$.

Визначення

Нехай $M$ — деякий гладкий многовид на якому задана афінна зв'язність ${\mathrm{\nabla }}_{Y}X$ і $p\in M$. Для кожного вектора $X\in T_{p}M$ існує єдина геодезична ${\gamma }_X(t)$, що виходить з точки $p$ (тобто ${\gamma }_X(0)=p$), така що ${{\gamma }_X}^{\prime }(0)=X$. Дана геодезична лінія визначена в деякому околі нуля в $ℝ$ і також з властивостей геодезичних ліній ${\gamma }_{sX}(t)={\gamma }_X(st)$ там де значення в правій частині є визначеним. Зокрема ${\gamma }_X(1)$ є визначеним в деякому околі нуля простору $T_{p}M$.

Експоненційне відображення вектора $X\in T_{p}M$ визначається як ${\exp }_p(X)={\gamma }_X(1)$. Воно є визначене загалом лише в деякому околі нуля дотичного простору.

Зокрема для ріманових многовидів існує канонічна афінна зв'язність (зв'язність Леві-Чивіти), що узгоджується з рімановою структурою многовида. Відображення визначене як вище для цієї конкретної зв'язності називається експоненційним відображенням для ріманових многовидів.

Властивості

• ${\exp }_p(0)=p$.

Образ поверхні Землі при оберненому експоненційному відображенні до північного полюса.

• Для кожної точки $p\in M$ існує таке число $\epsilon >0$, що експоненційне відображення ${\exp }_p$ визначене для всіх векторів $X\in T_{p}M$, які задовольняють умову $|X|\le \epsilon$
• Більш того, ${\exp }_p$ є дифеоморфізмом в деякому околі нуля в дотичному просторі $T_{p}M$ в деякий окіл точки $p$ многовида $M$. Таким чином, в деякому околі точки $p$ многовида $M$ визначене обернене експоненційне відображення (що також називається логарифмом і позначається ${\log }_p$ ), що набуває значень в деякому околі нуля дотичного простору $T_{p}M$.
• Нехай тепер $N\subset TM$ , така що для $(p,X)\in N$ (де $p\in M,X\in T_{p}M$) відображення ${\exp }_p(X)$ є визначене. Тоді множина $N$ є відкритою підмножиною в $TM$ і відображення $\exp (p,X)={\exp }_p(X)$ визначене на $N$ буде теж диференційовним.

• У метрично повному рімановому многовиді експоненційне відображення визначено для будь-якого дотичного вектора (Теорема Гопфа — Рінова).

• Диференціал експоненціального відображення в будь-якій точці $p$ є тотожним лінійним оператором. Тобто

  $(d_p{\exp }_p)(X)=X$

для будь-якого $X\in T_{p}M$. Тут ми ототожнюємо простір, дотичний до $T_{p}M$, з самим простором $T_{p}M$.

• Для груп Лі $G$ дотичний простір $T_{e}G$ у одиничному елементі $e$ можна ідентифікувати із простором лівоінваріантних векторних полів, тобто полів $X$ для яких $X_{gh}=(\mathrm{d}{L}_g)X_h,\mathrm{\forall }g,h\in G,$ де $L_g$ позначає відображення множення зліва на елемент $g,$ тобто: $L_g(h)=gh.$ Для ненульового елемента $T_{e}G$ відновідне лівоінваріантне векторне поле є ненульовим у всіх точках і більш того для базису постору $T_{e}G$ відповідні лівоінваріантні векторні поля задають базис у кожній точці групи Лі. Потоки лівоінваріантних векторних полів із точки $e$ є гомоморфізмами із адитивної групи дійсних чисел у групу $G$ і є визначеними для всіх дійсних чисел. Якщо $X_1,\dots ,X_n$ є лівоінваріантними лінійно незалежними векторними полями, то на групі Лі $G$ можна задати афінну зв'язність як ${\mathrm{\nabla }}_X{X}_i=0$ для всіх $X_i$ і всіх $X\in TM$ (тоді також ${\mathrm{\nabla }}_{X}Y=0$ для всіх лівоінваріантних полів $Y$). Для цієї зв'язності геодезична лінія із точки $e$ у напрямку $X_e$ є рівною потоку лівоінваріантного векторного поля $X$ із точки $e$. Таким чином експоненційне відображення збігається із експонентою визначеною в теорії груп Лі.
• Важливим частковим випадком попереднього є група $GL(n,ℝ)$ невироджених квадратних матриць порядку $n$. Одиничним елементом цієї групи є одинична матриця і дотичний простір в цьому елементі є рівним $M(n,ℝ)$ — простору усіх квадратних матриць порядку $n$. Для $A\in M(n,ℝ)$ відповідний потік для лівоінваріантного поля задається як $\exp tA=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{t^k}{k!}{A}^k.$ Зокрема у точці $t=1$ значення потоку є рівним класичній експоненті матриці, що пояснює викоричтання цієї назви для аналогічних відображень у ширших класах груп Лі і диференційовних многовидів.

Приклади

• У випадку ${ℝ}^n$експоненційне відображення є канонічною ідентифікацією дотичного простору $T_p{ℝ}^n$ із ${ℝ}^n$при якій початок координат дотичного простору переходить у точку p. А саме $\exp (V)=p+V.$
• Для одиничної сфери $S^2$ із «південним полюсом» у точці $p=(0,0,-1)$якщо на $T_p{S}^2$ввести полярні координати то кожен дотичний вектор можна записати як $V=r\cos \phi \frac{\partial }{\partial x}+r\sin \phi \frac{\partial }{\partial y}$ і розглядати експоненту як функцію $r$ і $\phi$. Тоді можна записати у явному виді

${\exp }_p(r,\phi )=(\cos \phi \cos (r-\pi /2),\sin \phi \cos (r-\pi /2),\sin (r-\pi /2)).$

Зокрема образами кіл із радіусами $\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in {\mathbb{Z}}^{+}$є «екватор» кулі, образами кіл із радіусами $\pi +2\pi n,n\in {\mathbb{Z}}^{+}$є «північний полюс», а образами кіл із радіусами $2\pi n,n\in {\mathbb{Z}}^{+}$ є «південний полюс». У цьому випадку експоненційне відображення є визначеним для всієї дотичної площини.

• Натомість для $S^2\setminus (0,0,1)$, тобто одиничної кулі без «північного полюса», експоненційне відображення із дотичної площини у «південному полюсі» є визначеним лише у крузі $r<\pi .$

Див. також

• Експонента матриці
• Експонента (теорія груп Лі)
• Нормальна система координат

Література

• Шаблон:Citation Шаблон:Ref-en