Грассманіан

Грассманіаном $G r (k, V)$ в математиці називають множину лінійних підпросторів розмірності k лінійного простору V. Як правило цій множині надається деяка додаткова структура. Зокрема для випадку лінійних просторів над полями дійсних чи комплексних чисел можна ввести природну структуру гладкого многовиду. В цьому випадку також використовується термін многовид Грассмана. Мають широке застосування в лінійній алгебрі, диференціальній і алгебраїчній геометрії, а також в інформатиці, зокрема комп'ютерному баченні. Названі на честь німецького математика Германа Грассмана.

Визначення

Нехай $V$ є лінійним простором розмірності n над полем $𝕂$ . Грассманіаном $G r (k, V)$ називається множина всіх лінійних підпросторів простору V розмірності k.

Пов'язаним є поняття множини $S t (k, V)$ елементами якої є всі можливі набори k лінійно незалежних векторів. Кожен такий набір однозначно визначає лінійний підпростір розмірності k, тобто елемент грассманіана. Але навпаки кожному підпростору розмірності k відповідають різні елементи $S t (k, V) .$

Ввівши деякий базис $e_{1}, \dots, e_{n}$ лінійного простору V, кожен вектор однозначно визначається своїми координатами в цьому базисі. Тоді k лінійно незалежних векторів можна ідентифікувати зі стовпцями деякої матриці розмірності n×k, ранг якої рівний k: ${A \in M (n, k, K), rank A = k} .$

У випадку лінійних просторів над полями дійсних чи комплексних чисел $S t (k, V)$ є гладким многовидом, що називається многовидом Штіфеля.

Топологія на грассманіані

Нехай тепер V — лінійний простір над полем дійсних чисел. Топологію на грассманіані найпростіше визначити через топологію на $S t (k, V)$ через його ідентифікацію з підмножиною множини $M (n, k, ℝ) .$ Спершу на $M (n, k, ℝ)$ існує природна топологія породжена якоюсь із норм матриць (наприклад нормою Фробеніуса).

Множина ${A \in M (n, k, ℝ), rank A = k}$ є відкритою в цій топології адже є прообразом відкритої множини $ℝ ∖ {0}$ щодо неперервного відображення $f (A) = \det (A^{T} A) .$ На $S t (k, V)$ вводиться індукована топологія з топології на $M (n, k, ℝ) .$

Якщо тепер $A \in S t (k, V)$ — деякий набір k лінійно незалежних векторів то їх лінійна оболонка $L (A)$ очевидно є елементом $G r (k, V) .$ Тому можна визначити відображення $ϕ : S t (k, V) \to G r (k, V)$ визначене рівністю $ϕ (A) = L (A) .$ Грассмановою топологією називається максимальна топологія для якої це відображення є неперервним. Тобто підмножина $G \subset G r (k, V)$ є відкритою у цій топології тоді й лише тоді коли $ϕ^{- 1} (G)$ є відкритою в $S t (k, V)$ .

Властивості топології

Введена таким чином топологія є Гаусдорфовою.
Грассманіан із цією топологією є компактним простором.
Нехай Q — лінійний підпростір простору V розмірності n - k. Визначимо множину $G = {P \in G r (k, V) : P \cap Q = {0}} .$ Дана множина G є відкритою.

Нехай

P \in G

і

A \in ϕ^{- 1} (P) .

Як і раніше ідентифікуємо A з елементом з

M (n, k, ℝ)

де стовпці матриці є координатами векторів у деякому базисі

e_{1}, \dots, e_{n} .

Нехай

A^{'} \in M (n, n - k, ℝ)

— матриця стовпцями якої є координати деяких базисних векторів підпростору Q відносно

e_{1}, \dots, e_{n} .

Очевидно що

P \cap Q = {0}

тоді й лише тоді коли визначник блокової матриці

[\begin{matrix} A & A^{'} \end{matrix}]

не дорівнює нулю. Але зважаючи, що визначник є многочленом від елементів матриці, звідси відразу стає зрозуміло, що при малій зміні елементів у перших k стовпцях він знову не буде рівним нулю. І відповідно підпростір породжений цими зміненими стовпцями матиме нульовий перетин з Q. Тобто якщо

A \in ϕ^{- 1} (G)

то й деякий окіл A є підмножиною

ϕ^{- 1} (G) .

Звідси випливає, що множина

ϕ^{- 1} (G)

є відкритою і згідно визначення грассманової топології G теж є відкритою.

Структура гладкого многовиду

Як фактор-многовид многовиду Штіфеля

Оскільки $S t (k, V)$ можна визначити як відкриту підмножину $ℝ^{n k}$ на цій множині природно вводиться структура гладкого многовида. Для $A \in S t (k, V)$ маємо $ϕ^{- 1} (ϕ (A)) = {A B, B \in G L (k, ℝ)},$ де $G L (k, ℝ)$ — загальна лінійна група. Таким чином $G r (k, V) ≃ S t (k, V) / G L (k, ℝ)$ і оскільки $G L (k, ℝ)$ є групою Лі дія якої на $S t (k, V)$ є гладкою, вільною і власною (прообраз компактної множини є компактним), то на $G r (k, V)$ можна ввести структуру фактор-многовиду.

Явний опис карт

Проте гладку структуру можна ввести і в більш наглядний спосіб. Нехай $P \in G r (k, V)$ і Q лінійний підпростір у V розмірності n - k, такий що $V = P \oplus Q .$ Введемо базис $e_{1}, \dots, e_{n}$ лінійного простору V де перші k векторів є базисом простору P, а наступні n - k векторів є базисом простору Q.

Нехай $G_{P} = {P^{'} \in G r (k, V) : P^{'} \cap Q = {0}} .$ Як вказано вище $G_{P}$ є відкритою множиною і очевидно $P \in G_{P} .$ Тобто $G_{P}$ є околом P.

Якщо $P^{'} \in G_{P}$ то $\forall x \in P^{'} \exists! p \in P, q \in Q : x = p + q,$ при чому p = 0 тоді й лише тоді, коли x = 0. Тому можна розглянути два лінійні відображення $\Pr_{P} : P^{'} \to P$ і $\Pr_{Q} : P^{'} \to Q,$ для яких в попередніх позначеннях $\Pr_{P} (x) = p, \Pr_{Q} (x) = q .$

Лінійне відображення $\Pr_{P}$ діє між двома просторами розмірності k і воно є ін'єктивним ( $\Pr_{P} (x) = 0 ⟹ x \in Q ⟹ x = 0$ з визначення $P^{'}$ ). Звідси випливає, що воно є лінійним ізоморфізмом і існує обернене відображення. Тому можна визначити лінійне відображення $D \in ℒ (P, Q) : = \Pr_{Q} \circ \Pr_{P}^{- 1}$ . Для введених раніше базисних векторів йому відповідає деяка матриця $D \in M (n - k, k, ℝ) .$ Відображення $I + D$ задає ізоморфізм між P і P^', зокрема стовпці, блокової матриці $[\begin{matrix} I_{k} \\ D \end{matrix}]$ задають координати базисних векторів простору P^' щодо векторів $e_{1}, \dots, e_{n} .$ Якщо тепер $D_{1}, D_{2} \in M (n - k, k, ℝ)$ — дві різні матриці то підпростори визначені $[\begin{matrix} I_{k} \\ D_{1} \end{matrix}]$ і $[\begin{matrix} I_{k} \\ D_{2} \end{matrix}]$ очевидно належать $G_{P}$ і є різними. Таким чином визначається бієктивне відображення $ψ_{P}$ між $G_{P}$ і $M (n - k, k, ℝ) .$ Не важко помітити, що воно є гомеоморфним.

Множина $(G_{P}, ψ_{P}), P \in G r (k, V)$ є покриттям простору $G r (k, V)$ локальними картами тобто грассманіан є локально евклідовим простором розмірності k·(n-k).

Для перевірки властивостей гладкого многовида потрібно лише перевірити властивості перехідних відображень.

Нехай $P_{1}, P_{2} \in G r (k, V), G_{P_{1}}, G_{P_{2}}, ψ_{P_{1}}, ψ_{P_{2}}$ — визначені як і раніше. Також визначимо $Q_{1}, Q_{2} : V = P_{1} \oplus Q_{1} = P_{2} \oplus Q_{2}$ і базисні вектори $e_{1}, \dots, e_{n}$ лінійного простору V де перші k векторів є базисом простору P₁, а наступні n - k векторів є базисом простору Q₁ і базисні вектори $f_{1}, \dots, f_{n}$ лінійного простору V де перші k векторів є базисом простору P₂, а наступні n - k векторів є базисом простору Q₂

Візьмемо тепер $P_{3} \in G_{P_{1}} \cap G_{P_{2}}$ тобто $P_{3} \cap Q_{1} = P_{3} \cap Q_{2} = {0} .$ Маємо $ψ_{1} (P_{3}) = A_{1} \in M (n - k, k, ℝ), ψ_{2} (P_{3}) = A_{2} \in M (n - k, k, ℝ) .$ Відповідно стовпці блокової матриці $A^{'} = [\begin{matrix} I_{k} \\ A_{1} \end{matrix}]$ задають координати базисних векторів простору $P_{3}$ щодо $e_{1}, \dots, e_{n} .$ Якщо $B$ — матриця переходу від базиса $f_{1}, \dots, f_{n}$ до базиса $e_{1}, \dots, e_{n}$ простору V, то стовпці матриці $B^{'} = B A^{'}$ є координатами тих самих базисних векторів простору $P_{3}$ щодо $f_{1}, \dots, f_{n} .$ Перепишемо останню матрицю у блочному виді: $B^{'} = [\begin{matrix} F \\ H \end{matrix}]$ де $F \in M (k, k, ℝ), H \in M (n - k, k, ℝ) .$ Стовпці матриці $B^{'}$ є лінійно незалежними. Також лінійно незалежними є стовпці матриці F. Справді довільна лінійна комбінація, яка переводить стовпці матриці F в нуль і не всі коефіцієнти якої рівні нулю, переводить вектори визначені стовпцями $B^{'}$ в ненульовий елемент $Q_{2}$ , що неможливо згідно з означеннями.

З аналогічних до попередніх міркувань маємо $[\begin{matrix} F \\ H \end{matrix}] = [\begin{matrix} I_{k} \\ A_{2} \end{matrix}] X,$ — де X, деяка матриця стовпці якої визначають координати лінійно незалежних векторів у підпросторі $P_{2}$ у базисі $f_{1}, \dots, f_{k} .$ З поданої рівності очевидно, що $X = F$ і, як наслідок $A_{2} = H F^{- 1} .$

Тепер можна перевірити тип залежності елементів матриці $A_{2}$ від елементів матриці $A_{1} .$ З рівності $B^{'} = B A^{'}$ випливає, що коефіцієнти матриць $B^{'}, F, H$ є афінними функціями від елементів матриці $A_{1} .$ З формули для оберненої матриці і попереднього випливає, що елементи матриці $F^{- 1}$ є раціональними функціями від елементів $A_{1}$ знаменники яких ніколи в $G_{P_{1}} \cap G_{P_{2}}$ не рівні нулю. Ця ж залежність справедлива і для елементів матриці $A_{2} = H F^{- 1} .$ Відповідно всі елементи матриці $A_{2}$ є гладкими функціями від елементів матриці $A_{1},$ тобто всі функції переходу $ψ_{P_{1} P_{2}} = ψ_{P_{2}} \circ ψ_{P_{1}}$ є гладкими.

Див. також

Лінійний простір

Джерела

Грассманіан

Зміст

Визначення

Топологія на грассманіані

Властивості топології

Структура гладкого многовиду

Як фактор-многовид многовиду Штіфеля

Явний опис карт

Див. також

Джерела

Навігаційне меню

Грассманіан

Визначення

Топологія на грассманіані

Властивості топології

Структура гладкого многовиду

Як фактор-многовид многовиду Штіфеля

Явний опис карт

Див. також

Джерела

Навігаційне меню

Пошук