Глюонне поле

Шаблон:Квантова теорія поля Глюонне поле — 4-векторне поле в теоретичній фізиці елементарних частинок, що описує еволюцію глюонів та задає сильну взаємодію між кварками. Воно відіграє таку роль у квантовій хромодинаміці (КХД), як електромагнітний 4-потенціал у квантовій електродинаміці (КЕД).

Вступ

Глюон може мати 8 колірних зарядів, тому існує 8 глюонних полів, на відміну від фотонів, які є нейтральними і тому у фотона тільки одне поле. Глюонні поля для кожного колірного заряду мають «часоподібну» компоненту аналогічну до електричного потенціалу і три «простороподібні» компоненти аналогічні векторному магнітному потенціалу.

${𝒜}^n(𝐫,t)=[\underset{\text{timelike}}{\underbrace{{𝒜}_0^n(𝐫,t)}},\underset{\text{spacelike}}{\underbrace{{𝒜}_1^n(𝐫,t),{𝒜}_2^n(𝐫,t),{𝒜}_3^n(𝐫,t)}}]=[{\varphi }^n(𝐫,t),{𝐀}^n(𝐫,t)]$

де Шаблон:Math не є показником степеня, а нумерує вісім колірних зарядів глюона; всі компоненти залежать від радіус-вектора глюона r і часу t. ${𝒜}_{\alpha }^a$ — поле скалярів, для деяких компонент часопростору і колірного заряду глюона. матриці Гелл-Манна Шаблон:Math — вісім матриць 3 × 3, які формують матричне подання групи SU(3). Вони також є генераторами групи SU(3) в контексті квантової механіки і теорії поля; генератор можна розглядати як оператор, що відповідає перетворенню симетрії (див. симетрія у квантовій механіці). Ці матриці відіграють важливу роль в КХД, оскільки КХД – калібрувальна теорія, побудована на групі симетрії SU(3). Кожна матриця Гелл-Манна відповідає конкретному колірному заряду глюона. Генератори групи також можуть слугувати базисом векторного простору, так що загальне глюонне поле є суперпозицією всіх колірних полів. З точки зору матриць Гелл-Манна компоненти глюонного поля представлені матрицями 3 × 3, визначаються формулою:

$t_a=\frac{{\lambda }_a}{2}.$

Або, зібравши компоненти в вектор з чотирьох 3 × 3 матриць,

$𝒜(𝐫,t)=[{𝒜}_0(𝐫,t),{𝒜}_1(𝐫,t),{𝒜}_2(𝐫,t),{𝒜}_3(𝐫,t)]$

Глюонне поле:

$𝒜=t_a{𝒜}^a.$

Калібрувальні перетворення

Калібрувальні перетворення кожного глюонного поля ${𝒜}_{\alpha }^n$, що не змінюють тензор напруженості глюонного поля:

${𝒜}_{\alpha }^n\to e^{i\overline{\theta }(𝐫,t)}({𝒜}_{\alpha }^n+\frac{i}{g_s}{\partial }_{\alpha })e^{-i\overline{\theta }(𝐫,t)}$

де

$\overline{\theta }(𝐫,t)=t_n{\theta }^n(𝐫,t),$

є матрицею 3 × 3 . Шаблон:Math — вісім калібрувальних функцій, залежних від радіус-вектора Шаблон:Math і часу t. Калібрувальна коваріантна похідна перетворюється ідентично. Функції Шаблон:Math тут аналогічні калібрувальній функції Шаблон:Math при зміні електромагнітного потенціалу Шаблон:Math в компонентах простору-часу:

$A{\text{'}}_{\alpha }(𝐫,t)=A_{\alpha }(𝐫,t)-{\partial }_{\alpha }\chi (𝐫,t)$

Кваркове поле є інваріантним щодо калібрувальних перетворень

$\psi (𝐫,t)\to e^{ig\overline{\theta }(𝐫,t)}\psi (𝐫,t).$

Тензор напруженості глюонного поля

Тензор напруженості глюонного поля є тензорним полем другого рангу в просторі-часі, яке характеризує взаємодію між кварками та глюонами.

Компоненти тензора

$G_{\alpha \beta }=\pm \frac{1}{g_s}[D_{\alpha },D_{\beta }],$

де $D_{\mu }={\partial }_{\mu }\pm i{g}_s{t}_a{𝒜}_{\mu }^a,$ — калібрувальна коваріантна похідна , в якій:

• Шаблон:Math — уявна одиниця;
• Шаблон:Math — стала зв'язку сильної взаємодії;
• Шаблон:Math — матриці Гелл-Манна поділені на 2;
• Шаблон:Math — індекс кольору, який може набувати значень від 1 до 8;
• Шаблон:Math — індекс простору-часу, 0 для часоподібних компонент і 1, 2, 3 для простороподібних компонент;
• ${𝒜}_{\mu }=t_a{𝒜}_{\mu }^a$
• ${𝒜}_{\mu }$ — її чотири компоненти, які при фіксованому калібруванні є функціями, результатом яких є ермітові матриці 3×3 ; *${𝒜}_{\mu }^a$ — 32 функції, результатом яких є дійсні значення, по 4 компоненти для кожного з восьми векторних полів.

Розклад комутатора дає:

$G_{\alpha \beta }={\partial }_{\alpha }{𝒜}_{\beta }-{\partial }_{\beta }{𝒜}_{\alpha }\pm i{g}_s[{𝒜}_{\alpha },{𝒜}_{\beta }].$

Підставивши $t_a{𝒜}_{\alpha }^a={𝒜}_{\alpha }$ і використавши співвідношення $[t_a,t_b]=i{f}^{abc}{t}_c$ для матриць Гелл-Манна (з перепозначенням індексів), в яких Шаблон:Math — структурні константи SU(3), кожна компонента напруженості глюонного поля може бути виражена як лінійна комбінація матриць Гелл-Манна наступним чином:

$\begin{array}{cc}{G}_{\alpha \beta }& ={\partial }_{\alpha }{t}_a{𝒜}_{\beta }^a-{\partial }_{\beta }{t}_a{𝒜}_{\alpha }^a\pm i{g}_s[t_b,t_c]{𝒜}_{\alpha }^b{𝒜}_{\beta }^c\\ & =t_a({\partial }_{\alpha }{𝒜}_{\beta }^a-{\partial }_{\beta }{𝒜}_{\alpha }^a\pm i^2{g}_s{𝒜}_{\alpha }^b{𝒜}_{\beta }^c)\\ & =t_a{G}_{\alpha \beta }^a\\ \end{array},$

так що ::

$G_{\alpha \beta }^a={\partial }_{\alpha }{𝒜}_{\beta }^a-{\partial }_{\beta }{𝒜}_{\alpha }^a\mp g_s{f}^{abc}{𝒜}_{\alpha }^b{𝒜}_{\beta }^c.$

Порівняння з електромагнітним тензором

Тензор глюонного поля дуже схожий на тензор електромагнітного в КЕД;

$F_{\alpha \beta }={\partial }_{\alpha }{A}_{\beta }-{\partial }_{\beta }{A}_{\alpha }.$

Основна відмінність між КХД і КЕД полягає в тому, що напруженість глюонного поля має додаткові умови, які спричиняють взаємодію між глюонами і асимптотичну свободу. Це ускладнює сильні взаємодії, спричиняючи їхню нелінійність, на відміну від лінійної теорії електромагнітної взаємодії. Операції в КХД не комутативні, що робить відповідну лінійну алгебру нетривіальною.

Густина лагранжіана в КХД

Густина лагранжіана безмасових кварків, зв'язаних глюонами:

$ℒ=-\frac{1}{2}\mathrm{t}\mathrm{r}\left(G_{\alpha \beta }{G}^{\alpha \beta }\right)+\overline{\psi }\left(i{D}_{\mu }\right){\gamma }^{\mu }\psi$

де tr — слід матриці 3×Шаблон:Math, а Шаблон:Math — гамма-матриці Дірака.

Рівняння руху

Рівняння для тензора напруженості глюонного поля — рівняння Янга-Міллса для глюонів та кварків

$[D_{\mu },G^{\mu \nu }]=g_s{j}^{\nu }$.

Аналогічно до електричного струму, який є джерелом електромагнітного тензора, струм колірного заряду є джерелом тензора напруженості глюонного поля і задається рівняннями:

$j^{\nu }=t^b{j}_b^{\nu },j_b^{\nu }=\overline{\psi }{\gamma }^{\nu }{t}^b\psi .$

Колірний струм є постійним, оскільки колірний заряд зберігається. Отже, колірний 4-струм повинен задовольняти рівняння неперервності:

${\partial }_{\nu }{j}^{\nu }=0.$

Див. також

• Глюон
• Кварк
• Квантова хромодинаміка
• Квантова механіка
• Матриці Гелл-Манна

Література

• Шаблон:Статья
• The Large Hadron Collider: Harvest of Run 1 с. 4, 65, 356—357, 359, 361, 412, 419, 518 Шаблон:Webarchive Опубликована монография по результатам LHC Run 1
• Шаблон:Книга-ру