Матриці Гелл-Манна

Матриці Гелл-Манна — одне з представлень інфінітезимальних генераторів спеціальної унітарної групи SU(3). Вони використовуються в квантовій хромодинаміці і є узагальненням матриць Паулі.

Всього існує 8 лінійно незалежних матриць 3 × 3 з одиничним визначником. Їх можна вибрати в наступному вигляді

${\lambda }_1=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_2=\left(\begin{array}{ccc}0& -i& 0\\ i& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$
${\lambda }_4=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_5=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -i\\ 0& 0& 0\\ i& 0& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_6=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$
${\lambda }_7=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& -i\\ 0& i& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_8=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right)$

Це ермітові матриці. Слід усіх матриць ${\lambda }_i$ дорівнює нулю.

$\text{Sp}{\lambda }_j=0$.

Крім того

$\text{Sp}{\lambda }_i{\lambda }_j=2{\delta }_{ij}$,

де ${\delta }_{i}j$ — символ Кронекера.

Матриці $g_i$ визначаються як

$g_i=\frac{1}{2}{\lambda }_i$.

Комутатори цих матриць задовольняють співвідношення

$[g_i,g_j]=i{f}^{ijk}{g}_k$,

де повторення індексу k означає підсумовування, а $f^{ijk}$ — повністю антисиметричний за трьома індексами і має значення:

$f^{123}=1,f^{147}=f^{165}=f^{246}=f^{257}=f^{345}=f^{376}=\frac{1}{2},f^{458}=f^{678}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Будь-який елемент групи SU(3) може бути записаним у формі:

$x=e^{i\sum _k{\theta }_k{g}_k}$,

де ${\theta }_k$ — дійсні числа. Саме ця властивість означає, що матриці ${\lambda }_i$, а з ними і $g_i$ є генераторами групи.

Джерела

• Адамс Дж. Ф., Лекции по группам Ли, «Наука», 1979