Індуктивна статистика

Індуктивна статистика (Шаблон:Lang-en) — це процес застосування аналізу даних для встановлення властивостей розподілу ймовірностей, який лежить в їх основі. Індуктивна статистика робить висновки про властивості генеральної сукупності, наприклад, шляхом перевірки гіпотез та отримування оцінок. Він виходить з припущення, що спостережувані дані є вибіркою з більшої сукупності.

Індуктивну статистику (Шаблон:Lang-en) можливо протиставляти описовій статистиці. Описова статистика цікавиться виключно властивостями спостережуваних даних, і не спирається на припущення, що ці дані походять із більшої сукупності.

Передмова

Індуктивна статистика створює інформацію про генеральну сукупність, використовуючи дані, вибрані з цієї сукупності за допомогою якогось виду відбору. Для заданої гіпотези про генеральну сукупність, про яку ми хочемо робити висновки, статистичне висновування складається з (по-перше) обирання статистичної моделі процесу, що породжує ці дані, та з (по-друге) виведення висловлень з цієї моделі.Шаблон:Citation needed

Конісі та Кітагава стверджують, що «більшість задач індуктивної статистики можливо розглядати як задачі, пов'язані зі статистичним моделюванням».Шаблон:Sfn Стосовно цього Шаблон:Нп сказав, що «як саме здійснюється [цей] переклад із предметної задачі до статистичної моделі, є часто найкритичнішою частиною аналізу.»Шаблон:Sfn

Висновком статистичного висновування є статистичне висловлення. Деякими з поширених видів статистичних висловлень є наступні:

• точкова оцінка, тобто певне значення, що найкраще наближує деякий досліджуваний параметр;
• Шаблон:Нп, наприклад, довірчий інтервал (або множинна оцінка), тобто інтервал, побудований з використанням набору даних, вибраного з генеральної сукупності, так, що при повторюваному відборі таких наборів даних такі інтервали міститимуть істинне значення параметру з імовірністю на заданому довірчому рівні;
• імовірний інтервал, тобто множина значень, що містить, наприклад, 95% апостеріорного переконання;
• відхилення гіпотез;Шаблон:Efn
• кластерування або класифікація точок даних на групи.

Моделі та гіпотези

Статистичне висновування вимагає деяких припущень. Статисти́чна моде́ль є набором гіпотез стосовно породження спостережуваних даних, та схожих на них. Описи статистичних моделей зазвичай підкреслюють роль досліджуваних величин генеральних сукупностей, стосовно яких ми хочемо робити висновки.Шаблон:Sfn Як підготовчий крок перед отриманням формальніших висновків, як правило, використовують описову статистику.

Рівні моделей гіпотез

Статистики розрізняють три рівні моделювальних припущень:

• Шаблон:Нп: Розподіли ймовірностей, що описують процес породження даних, вважають повністю описаними сімейством розподілів імовірності, що включають лише обмежену кількість невідомих параметрів.Шаблон:Sfn Наприклад, можна припустити, що розподіл значень генеральної сукупності є істинно нормальним, з невідомими середнім значенням та дисперсією, і що набори даних породжуються Шаблон:Нп. Широко застосовуваним та гнучким класом параметричних моделей є Шаблон:Нп.
• Шаблон:Нп: Припущення стосовно процесу, що породжує дані, є значно меншими, ніж у параметричній статистиці, й можуть бути мінімальними. Наприклад, кожен безперервний розподіл імовірності має медіану, яку може бути оцінено з використанням медіани вибірки, або Шаблон:Нп, що має гарні властивості, коли дані походять з простого випадкового відбору.
• Шаблон:Нп: Під цим терміном зазвичай мають на увазі припущення «посередині» між повністю параметричним та непараметричним підходами. Наприклад, можна припустити, що розподіл генеральної сукупності має скінченне середнє значення. Крім того, можна припустити, що рівень чутливості середнього значення в генеральній вибірці залежить істинно лінійним чином від деякої коваріати (параметричне припущення), але не робити жодного параметричного припущення, що описувало би дисперсію навколо цього середнього значення (тобто, про наявність або можливий вигляд будь-якої гетероскедастичності). Загальніше, напівпараметричні моделі часто можливо розділити на «структурну» складову, та складову «випадкової дисперсії». Одну складову обробляють параметрично, а іншу — непараметрично. Добре відома Шаблон:Нп є набором напівпараметричних припущень.

Важливість чинності моделей/припущень

Якого б рівня припущення не робилися, правильно відкаліброване висновування в цілому вимагає, щоби ці припущення були правильними, тобто, щоби механізми породжування даних дійсно було вказано правильно.

Неправильні припущення про Шаблон:Нп можуть зробити статистичне висновування нечинним. Наприклад, неправильне припущення про модель Кокса може в деяких випадках призвести до хибних висновків. Неправильні припущення про нормальність в генеральній сукупності також позбавляють чинності деякі види висновування на основі регресії. Використання будь-якої параметричної моделі розглядається скептично більшістю експертів у відборі вибірок з людських сукупностей: «більшість статистиків, що роблять вибірки, коли мають справу з довірчими проміжками взагалі, то обмежують себе твердженнями [про оцінки] на основі дуже великих вибірок, коли центральна гранична теорема гарантує, що [оцінки] матимуть розподіли, що є майже нормальними». Зокрема, нормальний розподіл «був би абсолютно нереалістичним та катастрофічно нерозумним припущенням, якщо ми маємо справу з будь-яким типом економічної генеральної сукупності». Тут центральна гранична теорема стверджує, що розподіл середнього значення вибірки «для дуже великих вибірок» є розподіленим приблизно нормально, якщо цей розподіл має не Шаблон:Нп.

Наближені розподіли

Враховуючи труднощі визначення точних розподілів статистик вибірки, було розроблено багато методів їхнього наближення.

При скінченних вибірках результати наближення вимірюють, наскільки близько граничний розподіл наближається до розподілу вибірки статистики: наприклад, із 10 000 незалежними зразками нормальний розподіл наближається (з двома цифрами точності) до розподілу вибіркового середнього для багатьох популярних розподілів, згідно Шаблон:Нп. Тим не менше, для багатьох практичних цілей нормальне наближення дає добре наближення за наявності 10 (або більше) незалежних зразків, згідно із симуляційними дослідженнями та досвідом статистиків. Після праці Колмогорова в 1950-х роках передова статистика використовує теорію наближень та функціональний аналіз для кількісного вираження похибки наближення. У цьому підході досліджується метрична геометрія розподілів ймовірностей; цей підхід виражає похибку наближення за допомогою, наприклад, розходження Кульбака — Лейблера, Шаблон:Нп та Шаблон:Нп.Шаблон:Sfn

Для нескінченно великих вибірок граничний розподіл вибіркової статистики, якщо такий існує, описують Шаблон:Нп, такі як центральна гранична теорема. Граничні результати не є твердженнями про скінченні вибірки, і дійсно є недоречними для них.Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn Тим не менш, асимптотичну теорію граничних розподілів часто залучають для роботи зі скінченними вибірками. Наприклад, граничні результати часто залучають для обґрунтування Шаблон:Нп та для використання Шаблон:Нп, що є популярними в економетрії та біологічній статистиці. Величину різниці між граничним та істинним розподілами (формально, «похибку» апроксимації) може бути оцінено із застосуванням симуляції.Шаблон:Sfn Евристичне застосування граничних результатів до скінченних вибірок є поширеною практикою в багатьох застосуваннях, особливо з моделями невисокої розмірності з логарифмічно угнутими правдоподібностями (такими як однопараметричні Шаблон:Нп).

Моделі на основі рандомізації

Для заданого набору даних, що було вироблено за планування з рандомізацією, розподіл рандомізації статистики (за нульової гіпотези) визначає оцінка пробної статистики для всіх планів, що може бути породжено цим плануванням з рандомізацією. У частотницькому висновуванні рандомізація дозволяє висновуванням ґрунтуватися на розподілі рандомізації, а не на суб'єктивній моделі, і це є особливо важливим у Шаблон:Нп та плануванні експериментів.Шаблон:Sfn Статистичне висновування із рандомізованих досліджень є також простішим і в багатьох інших ситуаціях.Шаблон:Sfn Рандомізація є важливою і в баєсовім висновуванні: у Шаблон:Нп застосування Шаблон:Нп забезпечує Шаблон:Нп вибірки з генеральною сукупністю; в рандомізованих експериментах рандомізація гарантує припущення Шаблон:Нп для інформації про коваріату.

Об'єктивна рандомізація дозволяє правильні індуктивні процедури.Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn Багато статистиків віддають перевагу аналізу на основі рандомізації для даних, що було породжено чітко визначеними рандомізаційними процедурами. (Тим не менше, правдою є й те, що в галузях науки із розвиненими теоретичними знаннями та керуванням експериментами рандомізовані експерименти можуть збільшувати витрати на експериментування без поліпшення якості висновків.Шаблон:Sfn) Так само, результати рандомізованих експериментів рекомендуються провідними статистичними органами як такі, що можуть уможливлювати висновування з більшою надійністю, ніж спостережні дослідження тих самих явищ. Тим не менше, добре спостережне дослідження може бути кращим за поганий рандомізований експеримент.

Статистичний аналіз рандомізованого експерименту може ґрунтуватися на схемі рандомізації, визначеній у протоколі експерименту, і не потребує суб'єктивної моделі.Шаблон:Sfn

Проте, як би там не було, деякі гіпотези неможливо перевіряти із застосуванням об'єктивних статистичних моделей, що точно описують рандомізовані експерименти або випадкові вибірки. В деяких випадках такі рандомізовані дослідження є неекономічними або неетичними.

Аналіз рандомізованих експериментів на основі моделей

Стандартною практикою при аналізі даних з рандомізованих експериментів є посилатися на статистичну модель, наприклад, лінійну або логістичну. Проте схема рандомізації направляє обирання статистичної моделі. Неможливо вибрати підхожу модель, не знаючи схеми рандомізації.Шаблон:Sfn Ігноруючи протокол експерименту при аналізі даних з рандомізованих експериментів, можна отримати небезпечно оманливі результати; поширені помилки включають забування блокування, що використовується в експерименті, та сплутування повторюваних вимірювань на одній і тій же експериментальній одиниці з незалежними повторами обробки, застосовуваної до різних експериментальних одиниць.Шаблон:Sfn

Безмодельне рандомізоване висновування

Безмодельні методики забезпечують доповнення до методів на основі моделей, які застосовують редукціоністські стратегії спрощування дійсності. Перші ж поєднують, розвивають, комбінують та тренують алгоритми динамічно, пристосовуючись до контекстних спорідненостей процесу, та навчаючись характеристик, притаманних спостереженням.

Наприклад, безмодельна проста лінійна регресія ґрунтується або на

• випадковім плануванні, в якому пари спостережень $(X_1,Y_1),(X_2,Y_2),\cdots ,(X_n,Y_n)$ є незалежними та однаково розподіленими (н. о. р.), або на
• детермінованім плануванні, в якому пари спостережень $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ є детермінованими, але відповідні змінні відгуку $Y_1,Y_2,\cdots ,Y_n$ є випадковими та незалежними зі спільним умовним розподілом, тобто, $P(Y_j\le y|X_j=x)=D_x(y)$, що є незалежним від індексу $j$.

В кожному з випадків безмодельне рандомізоване висновування для ознак спільного умовного розподілу $D_x(.)$ покладається на певні умови регулярності, наприклад, функційної гладкості. Наприклад, безмодельне рандомізоване висновування для ознаки сукупності умовне середнє, $\mu (x)=E(Y|X=x)$, може бути послідовно оцінено через локальне усереднювання або локальне поліноміальне допасовування, за припущення, що $\mu (x)$ є гладкою. Також, покладаючись на асимптотичну нормальність або Шаблон:Нп, ми можемо будувати довірчі проміжки для ознаки сукупності, в цьому випадку, умовного середнього $\mu (x)$.

Парадигми висновування

Було засновано різні школи статистичного висновування. Ці школи, або «парадигми», не є взаємовиключними, і методи, що добре працюють за однієї парадигми, часто мають привабливі інтерпретації за інших парадигм.

Бандіопадхай та ФорстерШаблон:Sfn описують чотири парадигми: «(I) класичні статистики або статистики похибок, (II) баєсові статистики, (III) статистики на основі правдоподібностей, та (IV) статистики на основі інформаційного критерію Акаіке». Огляд класичної (або частотницької) парадигми, баєсової парадигми, правдоподібницької парадигми, та парадигми на основі інформаційного критерію Акаіке наведено нижче.

Частотницьке висновування

Ця парадигма калібрує слушність висловлень шляхом розгляду (релевантного) повторюваного відбору з розподілу сукупності для вироблення наборів даних, подібних до наявного. Шляхом розгляду характеристик цього набору даних на повторюваних вибірках може бути отримано кількісну оцінку частотницьких властивостей статистичного висловлення, хоча на практиці таке кількісне оцінювання може бути складним завданням.

Приклади частотницького висновування

• p-значення
• Довірчий проміжок

Частотницьке висновування, об'єктивність та теорія рішень

Однією з інтерпретацій частотницького висновування (або класичного висновування) є те, що воно є застосовним лише в термінах частотницької ймовірності, тобто в термінах повторюваних вибірок із генеральної сукупності. Проте підхід Неймана розвиває ці процедури в термінах преекспериментальних імовірностей. Тобто, перш ніж приступати до експерименту, ухвалюють рішення про правило, як приходити до висновку, так що ймовірність бути правильними контролюється зручним чином: такій імовірності не потрібно мати частотницьку інтерпретацію, або інтерпретацію повторного відбору. На противагу, баєсове висновування працює в термінах умовних імовірностей (тобто ймовірностей, обумовлених спостережуваними даними), порівнюваних із відособленими (але обумовленими невідомими параметрами) ймовірностями, що застосовуються в частотницькому підході.

Частотницькі процедури перевірки значущості та довірчих проміжків може бути побудовано без врахування функцій корисності. Проте деякі елементи частотницьких статистик, такі як статистична теорія рішень, таки включають функції корисності.Шаблон:Citation needed Зокрема, частотницькі розвитки оптимального висновування (такі як Шаблон:Нп або Шаблон:Нп) використовують функції втрат, що відіграють роль (від'ємних) функцій корисності. Статистикам-теоретикам не потрібне явне вказання функцій втрат для доведення того, що статистична процедура володіє властивістю оптимальності.Шаблон:Sfn Тим не менше, функції втрат часто є корисними для встановлення властивостей оптимальності: наприклад, медіанні незміщені оцінки є оптимальними за модульних функцій втрат, бо вони мінімізують очікувані втрати, а мінімально-квадратичні оцінки є оптимальними за квадратичних функцій втрат, бо вони мінімізують очікувані втрати.

Хоча статистики, що використовують частотницьке висновування, і повинні обирати для себе параметри, що їх цікавлять, та оцінки/критерії, які застосовувати, відсутність очевидно явних функцій корисності та апріорних розподілів посприяла тому, що частотницькі процедури стали широко розглядатися як «об'єктивні».

Баєсове висновування

Баєсове числення описує міри переконання із застосуванням «мови» ймовірності; переконання є додатними, інтегруються в одиницю, та підкоряються аксіомам імовірності. Баєсове висновування використовує доступні апостеріорні переконання як основу для створення статистичних висловлень. Існує декілька різних обґрунтувань застосування баєсового підходу.

Приклади баєсового висновування

• Імовірний проміжок для Шаблон:Нп
• Коефіцієнти Баєса для порівнювання моделей

Баєсове висновування, суб'єктивність та теорія рішень

Багато неформальних баєсових висновувань ґрунтуються на «інтуїтивно розумних» зведеннях апостеріорного. Наприклад, як такі може бути обґрунтовано апостеріорне середнє, медіану та моду, проміжки найвищої густини апостеріорного та коефіцієнти Баєса. І хоча в цьому типі висновування й не потрібно вказувати користувацьку функцію корисності, ці зведення всі залежать (певною мірою) від вказаних апріорних переконань, і загалом розглядаються як суб'єктивні висновки. (Було запропоновано методи побудови апріорного, що не вимагають зовнішнього введення, але їх ще не було повністю розроблено.)

Формально баєсове висновування калібрується із посиланням на явно вказану функцію корисності, або втрат; «правило Баєса» є таким, що максимізує очікувану корисність, усереднену над невизначеністю апостеріорного. Формальне баєсове висновування відтак автоматично пропонує оптимальні рішення в розумінні теорії рішень. При заданих припущеннях, даних та корисності баєсове висновування може бути зроблено практично для будь-якої задачі, хоча не кожному статистичному висновуванню потрібно мати баєсову інтерпретацію. Аналізи, що не є формально баєсовими, можуть бути (логічно) Шаблон:Нп; особливість баєсових процедур, що використовують коректні апріорні (тобто такі, що інтегруються до одиниці), полягає в тому, що вони гарантовано будуть Шаблон:Нп. Деякі прихильники баєсового висновування стверджують, що висновування мусить мати місце в цій теоретичній моделі рішень, і що баєсове висновування не повинне завершуватися оцінкою та узагальненням апостеріорних переконань.

Висновування на основі правдоподібності

Правдоподібництво підходить до статистики з використанням функції правдоподібності. Деякі правдоподібники відкидають висновування, розглядаючи статистику лише як обчислювання підтримки свідченнями. Інші, проте, пропонують висновування на основі функції правдоподібності, найвідомішим з яких є оцінювання максимальною правдоподібністю.

Висновування на основі інформаційного критерію Акаіке

Інформаційний критерій Акаіке (ІКА, Шаблон:Lang-en) — це оцінювач відносної якості статистичних моделей для заданого набору даних. Для заданого набору моделей для цих даних ІКА оцінює якість кожної з них, по відношенню до кожної іншої з цих моделей. Таким чином, ІКА забезпечує засоби обирання моделі.

ІКА ґрунтується на теорії інформації: він пропонує оцінку відносних втрат інформації при застосуванні заданої моделі для представлення процесу, що породив дані. (Роблячи це, він працює на компромісом між допасованістю моделі та її простотою.)

Інші парадигми для висновування

Мінімальна довжина опису

Принцип мінімальної довжини опису (МДО, Шаблон:Lang-en) було розроблено з ідей із теорії інформаціїШаблон:Sfn та теорії колмогоровської складності.Шаблон:Sfn Принцип МДО обирає статистичні моделі, що максимально стискають дані; висновування відбувається без розгляду «механізмів породження даних» або моделей ймовірності, що суперечать даним або є неспростовними, як це може робитися в частотницькому або баєсовому підходах.

Тим не менш, якщо «механізм породження даних» існує в реальності, то згідно шеннонівської Шаблон:Нп він пропонує МДО-опис даних, в середньому та асимптотично.Шаблон:Sfn В мінімізації довжини опису (або описової складності) оцінка МДО є подібною до оцінки максимальної правдоподібності та оцінки апостеріорного максимуму (з використанням баєсових апріорних з Шаблон:Нп). Хоча МДО й уникає припущення, що ймовірнісна модель, що лежить в основі даних, є відомою, принцип МДО також може застосовуватися й без припущень, наприклад, що дані походять з незалежної вибірки.Шаблон:SfnШаблон:Sfn

Принцип МДО застосовувався в комунікаційній теорії кодування в теорії інформації, в лінійній регресіїШаблон:Sfn та добуванні даних.Шаблон:Sfn

Виконання висновувальних процедур на основі МДО часто використовує методики та критерії з теорії складності обчислень.

Фідуційне висновування

Шаблон:Нп було підходом до статистичного висновування на основі Шаблон:Нп, відомої також як «фідуційний розподіл». У подальших працях цей підхід було названо недовизначеним, надзвичайно обмеженим у застосовності та навіть помилковим.Шаблон:SfnШаблон:Sfn Хоча ця аргументація є такою ж, як і та, що показує,Шаблон:Sfn що так званий Шаблон:Нп не є чинним розподілом імовірності, та, оскільки це не позбавило чинності застосування довірчих проміжків, воно не обов'язково позбавляє чинності висновки, отримувані з фідуційної аргументації. Було вчинено спробу повторно інтерпретувати ранні праці з Шаблон:Нп Фішера як окремий випадок теорії висновування із застосуванням Шаблон:Нп.Шаблон:Sfn

Структурне висновування

Розвиваючи ідеї Фішера та Пітмана з 1938 по 1939 рік, Шаблон:Нп розробив «структурне висновування» (Шаблон:Lang-en) або «центральне висновування» (Шаблон:Lang-en), підхід, що використовує інваріантні ймовірності на Шаблон:Нп (Шаблон:Lang-en). Барнард переформулював аргументацію, що стояла за фідуційним висновуванням, на обмеженому класі моделей, на якому «фідуційні» процедури були би добре визначеними та корисними.

Питання висновування

Наведені нижче питання зазвичай включаються до царини статистичного висновування.

1. Шаблон:Нп
2. Статистична теорія рішень
3. Теорія оцінювання
4. Перевірка статистичних гіпотез
5. Шаблон:Нпні
6. Планування експериментів, дисперсійний аналіз та регресія
7. Шаблон:Нп
8. Підсумовування статистичних даних

Історія

Найраніше з відомих застосувань статистичного висновування здійснив Аль-Кінді, арабський математик IX сторіччя, у своєму «Трактаті про дешифрування криптографічних повідомлень», праці про криптоаналіз та частотний аналіз.

Див. також

• Шаблон:Нп
• Індукція (логіка)
• Шаблон:Нп
• Шаблон:Нп
• Шаблон:Нп
• Шаблон:Нп

Джерела

• Шаблон:Citation Шаблон:Ref-en
• Шаблон:Cite book Шаблон:Ref-en
• Шаблон:Citation Шаблон:Ref-en
• Fisher, R. A. (1955), "Statistical methods and scientific induction", Шаблон:Нп, Series B, 17, 69—78. (criticism of statistical theories of Jerzy Neyman and Abraham Wald) Шаблон:Ref-en
• Шаблон:Cite book Шаблон:Ref-en
• Шаблон:Нп (2010). Statistical Models and Causal Inferences: A Dialogue with the Social Sciences (Edited by David Collier, Jasjeet S. Sekhon, and Philip B. Stark), Cambridge University Press. Шаблон:Ref-en
• Шаблон:Cite journal Шаблон:Ref-en
• Шаблон:Cite journal Шаблон:Ref-en
• Шаблон:Cite book Шаблон:Ref-en
• Шаблон:Cite journal
  • Шаблон:Стаття Шаблон:Ref-ru
  • Шаблон:Книга Шаблон:Ref-ru
  • Шаблон:Cite journal Шаблон:Ref-en
• Шаблон:Citation Шаблон:Ref-en
• Шаблон:Cite journal Шаблон:Ref-en
• Шаблон:Citation Шаблон:Ref-en
• Шаблон:Citation Шаблон:Ref-en
• Шаблон:Cite journal Шаблон:Ref-en (відповідь на працю Фішера 1955 року)
• Шаблон:Citation Шаблон:Ref-en Відповідні окремі праці:
  • (1878 March), "The Doctrine of Chances", Popular Science Monthly, v. 12, March issue, pp. 604 Шаблон:Webarchive–615. Internet Archive Eprint. Шаблон:Ref-en
  • (1878 April), "The Probability of Induction", Popular Science Monthly, v. 12, pp. 705 Шаблон:Webarchive–718. Internet Archive Eprint. Шаблон:Ref-en
  • (1878 June), "The Order of Nature", Popular Science Monthly, v. 13, pp. 203 Шаблон:Webarchive–217.Internet Archive Eprint. Шаблон:Ref-en
  • (1878 August), "Deduction, Induction, and Hypothesis", Popular Science Monthly, v. 13, pp. 470 Шаблон:Webarchive–482. Internet Archive Eprint. Шаблон:Ref-en
• Шаблон:Cite journal (Передруковано 1983 року, Шаблон:Нп, Шаблон:ISBN) Шаблон:Ref-en
• Шаблон:Cite book Шаблон:Ref-en
• Шаблон:Cite book Шаблон:Ref-en
• Шаблон:Cite book Шаблон:Ref-en
• Шаблон:Cite journal Шаблон:Ref-en
• Шаблон:Cite book Шаблон:Ref-en
• Шаблон:Cite journal Шаблон:Ref-en

Література

• Шаблон:Нп, Шаблон:Нп (2002). Statistical Inference. Duxbury Press. Шаблон:Isbn Шаблон:Ref-en
• Шаблон:Cite journal Шаблон:Ref-en
• Held L., Bové D.S. (2014). Applied Statistical Inference—Likelihood and Bayes (Springer). Шаблон:Ref-en
• Шаблон:Cite journal Шаблон:Ref-en
• Шаблон:Cite journal Шаблон:Ref-en
• Rahlf, Thomas (2014). "Statistical Inference", in Claude Diebolt, and Michael Haupert (eds.), "Handbook of Cliometrics ( Springer Reference Series)", Berlin/Heidelberg: Springer. http://www.springerreference.com/docs/html/chapterdbid/372458.html Шаблон:Webarchive Шаблон:Ref-en
• Шаблон:Cite journal Шаблон:Ref-en
• Young, G.A., Smith, R.L. (2005). Essentials of Statistical Inference, CUP. Шаблон:Isbn Шаблон:Ref-en

Посилання

• MIT OpenCourseWare Шаблон:Webarchive: Statistical Inference Шаблон:Ref-en
• NPTEL Statistical Inference Шаблон:Webarchive, посилання на YouTube Шаблон:Webarchive Шаблон:Ref-en
• Statistical induction and prediction Шаблон:Ref-en

Шаблон:Статистика Шаблон:ВП-портали