Вимірна множина

Множина називається вимірною щодо міри μ, якщо вона належить до σ-алгебри на якій визначена μ. Для підмножин евклідового простору, якщо міра не вказана, то вважається, що μ це міра Лебега.Шаблон:Джерело

В сенсі Лебега

Множина $A$ називається вимірною (в сенсі Лебега), якщо для довільного $ε > 0$ знайдеться така елементарна множина $B$ , що:

μ^{*} (A △ B) < ε

,

де:

$μ^{*} (A)$ — зовнішня міра множини. Якщо функція $μ^{*} (A)$ розглядається лише на вимірних множинах, то вона називається мірою Лебега.
$△$ — симетрична різниця множин.

Іншими словами, якщо множина вимірна, то її можливо «як завгодно точно наблизити» елементарними множинами.

Сукупність $𝔐_{E}$ вимірних множин замкнена відносно операцій взяття скінчених або злічених сум та перетинів (тобто, являє собою σ-алгебру).
Функція μ σ-адитивна на $𝔐_{E}$ .
Доповнення вимірної множини також вимірна множина.
Сума та перетин скінченої кількості вимірних множин також вимірні множини.
Різниця та симетрична різниця двох вимірних множин також вимірна множина.
Довільна множина $A$ зовнішня міра якого дорівнює 0, є вимірним.

Не всі підмножини Евклідового простору вимірні в сенсі Лебега; прикладами невимірних множин є множина Віталі та невимірні множини, визначені в парадоксі Гаусдорфа, парадоксі Банаха-Тарського.