Елементарний симетричний многочлен

Елементарні симетричні многочлени — один з підвидів симетричних многочленів, їх важливість у тому, що з них можна скласти довільний симетричний многочлен.

Елементарні симетричні многочлени мають вигляд:

\begin{matrix} e_{0} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) & = 1, \\ e_{1} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) & = \sum_{1 \leq j \leq n} x_{j}, \\ e_{2} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) & = \sum_{1 \leq j < k \leq n} x_{j} x_{k}, \\ e_{3} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) & = \sum_{1 \leq j < k < l \leq n} x_{j} x_{k} x_{l}, \end{matrix}

і так далі до

e_{n} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = x_{1} x_{2} \dots x_{n} .

Для довільного многочлена можна записати:

e_{k} (x_{1}, \dots, x_{n}) = \sum_{1 \leq j_{1} < j_{2} < \dots < j_{k} \leq n} x_{j_{1}} \dots x_{j_{k}} .

Алгебраїчна незалежність

Елементарні симетричні многочлени є алгебраїчно незалежними, тобто для будь-якого n > 0 не існує такого ненульового многочлена P від n змінних, що $P (e_{1}, \dots, e_{n}) = 0 .$ Для доведення цього факту, на множині всіх одночленів $x_{1}^{a_{1}} \dots x_{n}^{a_{n}}$ можна ввести два відношення лінійного порядку:

Перше відношення $x_{1}^{a_{1}} \dots x_{n}^{a_{n}} > x_{1}^{b_{1}} \dots x_{n}^{b_{n}}$ якщо $a_{j} + \dots + a_{n} > b_{j} + \dots + b_{n}$ для найменшого індексу j для якого $a_{j} + \dots + a_{n} \neq b_{j} + \dots + b_{n}$ .
Друге відношення є лексикографічним упорядкуванням, тобто $x_{1}^{a_{1}} \dots x_{n}^{a_{n}} > x_{1}^{b_{1}} \dots x_{n}^{b_{n}},$ якщо $a_{j} > b_{j}$ для найменшого індексу j для якого $a_{j} \neq b_{j}$ .

Якщо P є ненульовим многочленом, то його можна записати, як суму одночленів виду $c y_{1}^{a_{1} - a_{2}} y_{2}^{a_{2} - a_{3}} \dots y_{n - 1}^{a_{n - 1} - a_{n}} y_{n}^{a_{n}} .$ Нехай $k y_{1}^{a_{1} - a_{2}} y_{2}^{a_{2} - a_{3}} \dots y_{n - 1}^{a_{n - 1} - a_{n}} y_{n}^{a_{n}}$ є одночленом, що є найбільшим у першому впорядкуванні. Тоді підставляючи $y_{i} = e_{i}$ і розписуючи одержаний вираз, як многочлен від $x_{1}, \dots, x_{n}$ одержуємо, що найбільший у другому впорядкуванні одночлен одержаного многочлена має вигляд $k x_{1}^{a_{1}} \dots x_{n}^{a_{n}} .$ Якщо тепер $P (e_{1}, \dots, e_{n}) = 0,$ то k=0, а тому і $P = 0 .$

Теорема Вієта

Шаблон:Main Однією з причин широкого застосування елементарних симетричних многочленів є теорема Вієта: Нехай P — многочлен із коефіцієнтами з деякого поля старшим коефіцієнтом рівним одиниці. У своєму алгебраїчному замиканні цей многочлен має кількість коренів рівну його степеню (з урахуванням кратності коренів) і можна записати:

P = t^{n} + a_{n - 1} t^{n - 1} + \dots + a_{2} t^{2} + a_{1} t + a_{0} = (t - x_{1}) (t - x_{2}) \dots (t - x_{n}),

тоді коефіцієнти P виражаються через елементарні симетричні многочлени від його коренів. А саме:

\begin{matrix} a_{n - 1} & = - x_{1} - x_{2} - \dots - x_{n} \\ a_{n - 2} & = x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + \dots + x_{2} x_{3} + \dots + x_{n - 1} x_{n} = \sum_{1 \leq i < j \leq n} x_{i} x_{j} \\ ⋮ \\ a_{n - d} & = (- 1)^{d} \sum_{1 \leq i_{1} < i_{2} < \dots < i_{d} \leq n} x_{i_{1}} x_{i_{2}} \dots x_{i_{d}} \\ ⋮ \\ a_{0} & = (- 1)^{n} x_{1} x_{2} \dots x_{n} . \end{matrix}

Фундаментальна теорема про симетричні многочлени

Нехай R — комутативне кільце з одиницею. Тоді довільний симетричний многочлен від n змінних з коефіцієнтами з R, може бути записаний як многочлен від змінних $e_{1}, \dots, e_{n}$ з коефіцієнтами з R.

Література

Елементарний симетричний многочлен

Зміст

Алгебраїчна незалежність

Теорема Вієта

Фундаментальна теорема про симетричні многочлени

Література

Навігаційне меню

Елементарний симетричний многочлен

Алгебраїчна незалежність

Теорема Вієта

Фундаментальна теорема про симетричні многочлени

Література

Навігаційне меню

Пошук