Гамма-розподіл

Щільність імовірності

Гамма-розподіл в теорії ймовірностей — це двопараметрична сім'я абсолютно неперервних розподілів. Він складається з параметрів θ і k. Якщо k — ціле, то розподіл показує суму k незалежних експоненційно розподілених випадкових величин, кожна з яких набуває значення θ. Якщо параметр $k$ набуває цілого значення, то такий гамма-розподіл також називається розподілом Ерланга.

Означення

Нехай розподіл випадкової величини $X$ задається щільністю ймовірності, яка має вигляд

$f_X(x)=\{\begin{array}{cc}{x}^{k-1}\frac{e^{-x/\theta }}{{\theta }^k\mathrm{\Gamma }(k)},& x\ge 0\\ 0,& x<0\end{array},$ де функція $\mathrm{\Gamma }(k)$ має вигляд

$\mathrm{\Gamma }(k)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{k-1}{e}^{-x}dx$
і має наступні властивості:

• $\mathrm{\Gamma }(k)=(k-1)\cdot \mathrm{\Gamma }(k-1)$;
• $\mathrm{\Gamma }(0,5)=\sqrt{\pi }$;

константи $k,\theta >0$. Тоді кажуть, що випадкова величина $X$ має гамма-розподіл з параметрами $k$ і $\theta$. Пишуть $X\sim \mathrm{\Gamma }(k,\theta )$.

Зауваження. Деколи використовують іншу параметризацію сімейства гамма-розподілів. Або вводять третій параметр — зсуву.

Моменти

Математичне сподівання і дисперсія випадкової величини $X$, яка має гамма-розподіл, мають вигляд

$𝔼[X]=k\theta$,

$𝔻[X]=k{\theta }^2$.

Властивості гамма-розподілу

• Якщо $X_1,\dots ,X_n$ — незалежні випадкові величини, такі що $X_i\sim \mathrm{\Gamma }(k_i,\theta ),i=1,\dots ,n$, то

$Y=\sum _{i=1}^n{X}_i\sim \mathrm{\Gamma }(\sum _{i=1}^n{k}_i,\theta )$.

• Якщо $X\sim \mathrm{\Gamma }(k,\theta )$, і $a>0$ — довільна константа, то

$aX\sim \mathrm{\Gamma }(k,a\theta )$.

• Гамма-розподіл нескінченно ділимий.

Зв'язок з іншими розподілами

• Експоненційний розподіл є окремим випадком гамма-розподілу:

$\mathrm{\Gamma }(1,\theta )\equiv \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}(1/\theta )$.

• Якщо $X_1,\dots ,X_k$ — незалежні експоненційні випадкові величини, такі що $X_i\sim \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}(\theta ),i=1,\dots ,k$, то

$Y=\sum _{i=1}^k{X}_i\sim \mathrm{\Gamma }(k,\theta )$.

• Розподіл хі-квадрат є окремим випадком гамма-розподілу:

$\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2},2)\equiv {\chi }^2(n)$.

Зокрема, якщо $n=1$, то $X\sim N(0,1)$ і

$X^2\sim \mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2},2)$.

• Згідно з центральною граничною теоремою,

при великих $k$ гамма-розподіл може бути наближений нормальним розподілом:

$\mathrm{\Gamma }(k,\theta )\approx \mathrm{N}(k\theta ,k{\theta }^2)$ при

$k\to \mathrm{\infty }$.

• Якщо $X_1,X_2$ — незалежні випадкові величини такі, що

$X_i\sim \mathrm{\Gamma }(k_i,1),i=1,2$, то

$\frac{X_1}{X_1+X_2}\sim \mathrm{B}(k_1,k_2)$.

Моделювання гамма-величин

Враховуючи властивість масштабування по параметру θ, що вказана вище, достатньо змоделювати гамма-величину для θ = 1. Перехід до інших значень параметра здійснюється простим множенням.

Використовуючи той факт, що розподіл $\mathrm{\Gamma }(1,1)$ збігається з експоненційним розподілом, отримуємо, що якщо U — випадкова величина, рівномірно розподілена на інтервалі (0, 1], то $\ln U\sim \mathrm{\Gamma }(1,1)$.

Тепер, використовуючи властивість k-сумування, :

$\sum _{i=1}^n-\ln U_i\sim \mathrm{\Gamma }(n,1),$

де U_i — незалежні випадкові величини, рівномірно розподілені на інтервалі (0, 1].

Залишилось змоделювати гамма-величину для 0 < k < 1 і ще раз застосувати властивість k-сумування.

Нижче наведено алгоритм без доведення. Він є прикладом вибірки з відхиленням

1. Нехай m дорівнює 1.
2. Згенеруємо $V_{2m-1}$ и $V_{2m}$ — незалежні випадкові величини, рівномірно розподілені на інтервалі (0, 1].
3. Якщо $V_{2m-1}\le v_0$, де $v_0=\frac{e}{e+\delta }$, перейти до кроку 4, інакше до кроку 5.
4. Покладемо ${\xi }_m={\left(\frac{V_{2m-1}}{v_0}\right)}^{\frac{1}{\delta }},{\eta }_m=V_{2m}{\xi }_m^{\delta -1}$. Перейти до кроку 6.
5. Покладемо ${\xi }_m=1-\ln \frac{V_{2m-1}-v_0}{1-v_0},{\eta }_m=V_{2m}{e}^{-{\xi }_m}$.
6. Якщо ${\eta }_m>{\xi }_m^{\delta -1}{e}^{-{\xi }_m}$, то залишити m

на одиницю и вернутися до кроку 2.

1. Прийняти $\xi ={\xi }_m$ за реалізацію $\mathrm{\Gamma }(\delta ,1)$.

Таким чином :

$\theta (\xi -\sum _{i=1}^{[k]}\ln U_i)\sim \mathrm{\Gamma }(k,\theta ),$

де [k] є цілою частиною k, а ξ згенерована по алгоритму, наведеному вище при δ = {k} (дробова частина k); U_i and V_l розподілені як вказано вище і попарно незалежні.

Гамма-розподіл втрат в страхуванні

Графік функції розподілу імовірностей при гамма-розподілі збитку

Графік щільносі розподілу імовірностей при гамма-розподілі збитку

Гамма-розподіл в теорії ймовірностей — це двопараметрична сім'я абсолютно неперервних розподілів. Він складається з параметрів θ і k. Якщо k — ціле тоді розподіл показує суму k незалежних експоненційно розподілених випадкових величин, кожна з яких набуває значення θ. Якщо параметр k набуває цілого значення, то такий гамма-розподіл також називається розподілом Ерланга.

Випадкова величина Y має гамма-розподіл з параметрами λ > 0 і α > 0, якщо

$f_Y(x)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}{\lambda }^{\alpha }{x}^{\alpha -1}{e}^{-\lambda x},x\ge 0,$

$F_Y(x)=\frac{{\lambda }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{t}^{\alpha -1}{e}^{-\lambda t}dt.$

де Γ — гамма-функція,

$\mathrm{\Gamma }=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{x-1}{e}^{-t}dt.$

Середнє значення для випадкової величини, що має гамма-розподіл дорівнює

$EY=\frac{\alpha }{\lambda },$

$VarY={\frac{\alpha }{\lambda }}^2.$

При x → ∞ щільність гамма-розподілу спадає швидше, ніж щільність розподілу Парето, але повільніше, ніж експоненційна щільність. Це означає, що для однакового розміру збитку імовірність його виникнення при гамма-розподілі більше, ніж при експоненційному розподілі, але менше, ніж при розподілі Парето. При α > 1 гамма-розподіл відповідає ситуації, коли позови в основному згруповані навколо деякого значення, а невеликі позови можливі, але малоімовірні.

Джерела

• Шаблон:Карташов.Імовірність процеси статистика
• Шаблон:Гнеденко.Курс теории вероятностей
• Шаблон:Гіхман.Скороход.Ядренко