Лагранжіан Дарвіна

Лагранжіан Дарвіна (названий на честь Чарлза Ґалтона Дарвіна, онука відомого біолога) описує взаємодію до порядку

$\frac{v^2}{c^2}$

між двома зарядженими частинками у вакуумі та дається виразом:

$L^{}=L_f+L_{int}^{}$

де вільночастинковий лагранжіан має вигляд:

$L_f=\frac{1}{2}{m}_1{v}_1^2+\frac{1}{8c^2}{m}_1{v}_1^4+\frac{1}{2}{m}_2{v}_2^2+\frac{1}{8c^2}{m}_2{v}_2^4,$

а лагранжіан взаємодії:

$L_{int}=L_C+L_D^{}$

де перший доданок є кулонівською взаємодією:

$L_C=-\frac{q_1{q}_2}{r}$

а другий - дарвінівською:

$L_D=\frac{q_1{q}_2}{r}\frac{1}{2c^2}{𝐯}_1\cdot [\mathrm{𝟏}+\widehat{𝐫}\widehat{𝐫}]\cdot {𝐯}_2.$

Тут q₁ та q₂ є зарядами частинок 1 та 2 відповідно, m₁ та m₂ - їхніми масами, v₁ та v₂ - швидкостями; c - швидкість світла, r - вектор між двома частинками, а $\widehat{𝐫}$ - одиничний вектор в напрямку r.

Вільний Лагранжіан є розкладом в ряд Тейлора вільного лагранжіану двох релятивістських частинок з точністю до величин другого порядку по v. Доданок з дарвінівською взаємодією відповідає реакції однієї частинки на магнітне поле, що створює друга частинка. Якщо члени вищих порядків по v/c збережені, тоді слід враховувати польові ступені вільності і взаємодія між частинками більше не може розглядатись як миттєва. В такому випадку повинні братись до уваги запізнювальні ефекти.

Дарвінівська взаємодія у вакуумі

Лагранжіан для релятивістської взаємодії частинки з зарядом q, що взаємодіє з електромагнітним полем, має вигляд:

$L_{int}=-q\mathrm{\Phi }+\frac{q}{c}𝐮\cdot 𝐀$

де u - релятивістська швидкість частинки. Перший доданок справа виражає кулонівську взаємодію, другий - дарвінівську. Векторний потенціал в кулонівській калібровці задається рівнянням (в одиницях Ґауса):

${\mathrm{\nabla }}^2𝐀-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2𝐀}{\partial t^2}=-\frac{4\pi }{c}{𝐉}_t$

Де поперечний потік J_t є вихровим потоком (див.теорему розкладу Гельмгольца), створеним другою частинкою. Дивергенція поперечного потоку нульова.

Потік, що створює друга частинка:

$𝐉=q_2{𝐯}_2\delta (𝐫-{𝐫}_2),$

що відповідає перетворенню Фур'є:

$𝐉\left(𝐤\right)\equiv \int d^{3}r\exp (-i𝐤\cdot 𝐫)𝐉\left(𝐫\right)=q_2{𝐯}_2\exp (-i𝐤\cdot {𝐫}_2).$

Поперечна компонента потоку:

${𝐉}_t\left(𝐤\right)=q_2[\mathrm{𝟏}-\widehat{𝐤}\widehat{𝐤}]\cdot {𝐯}_2\exp (-i𝐤\cdot {𝐫}_2).$

Легко переконатися, що:

$𝐤\cdot {𝐉}_t\left(𝐤\right)=0,$

що має виконуватись, якщо дивергенція поперечного потоку рівна нулю. Бачимо, що

${𝐉}_t\left(𝐤\right)$

є компонентою перетворення Фур'є, перпендикулярною до k.

З рівняння для векторного потенціалу, Фур'є-перетворення цього потенціалу:

$𝐀\left(𝐤\right)=\frac{4\pi }{c}\frac{q_2}{k^2}[\mathrm{𝟏}-\widehat{𝐤}\widehat{𝐤}]\cdot {𝐯}_2\exp (-i𝐤\cdot {𝐫}_2)$

де зберігся член лише найнижчого порядку по v/c.

Зворотне перетворення Фур'є векторного потенціалу:

$𝐀\left(𝐫\right)=\int \frac{d^{3}k}{{\left(2\pi \right)}^3}𝐀\left(𝐤\right)\exp (i𝐤\cdot {𝐫}_1)=\frac{q_2}{2c}\frac{1}{r}[\mathrm{𝟏}+\widehat{𝐫}\widehat{𝐫}]\cdot {𝐯}_2$

де

$𝐫={𝐫}_1-{𝐫}_2$

(див. Інтеграли, поширені в квантовій теорії поля)

Тоді доданок з дарвінівською взаємодією в лагранжіані буде:

$L_D=\frac{q_1{q}_2}{r}\frac{1}{2c^2}{𝐯}_1\cdot [\mathrm{𝟏}+\widehat{𝐫}\widehat{𝐫}]\cdot {𝐯}_2$

де ми знову отримуємо член лише найнижчого порядку по v/c.

Рівняння руху Лагранжа

Рівняння руху для однієї з частинок:

$\frac{d}{dt}\frac{\partial }{\partial {𝐯}_1}L({𝐫}_1,{𝐯}_1)={\mathrm{\nabla }}_{1}L({𝐫}_1,{𝐯}_1)$

$\frac{d{𝐩}_1}{dt}={\mathrm{\nabla }}_{1}L({𝐫}_1,{𝐯}_1)$

де p₁ -- імпульс частинки.

Вільна частинка

Рівняння руху для вільної частинки, в якому не враховується взаємодія між двома частинками:

$\frac{d}{dt}\left[(1+\frac{1}{2}\frac{v_1^2}{c^2})m_1{𝐯}_1\right]=0$

${𝐩}_1=(1+\frac{1}{2}\frac{v_1^2}{c^2})m_1{𝐯}_1$

Частинки, що взаємодіють

Рівняння руху для частинок, що взаємодіють:

$\frac{d}{dt}[(1+\frac{1}{2}\frac{v_1^2}{c^2})m_1{𝐯}_1+\frac{q_1}{c}𝐀\left({𝐫}_1\right)]=-\mathrm{\nabla }\frac{q_1{q}_2}{r}+\mathrm{\nabla }[\frac{q_1{q}_2}{r}\frac{1}{2c^2}{𝐯}_1\cdot [\mathrm{𝟏}+\widehat{𝐫}\widehat{𝐫}]\cdot {𝐯}_2]$

$\frac{d{𝐩}_1}{dt}=\frac{q_1{q}_2}{r^2}\widehat{𝐫}+\frac{q_1{q}_2}{r^2}\frac{1}{2c^2}\{{𝐯}_1\left(\widehat{𝐫}\cdot {𝐯}_2\right)+{𝐯}_2\left(\widehat{𝐫}\cdot {𝐯}_1\right)-\widehat{𝐫}[{𝐯}_1\cdot (\mathrm{𝟏}+3\widehat{𝐫}\widehat{𝐫})\cdot {𝐯}_2]\}$

${𝐩}_1=(1+\frac{1}{2}\frac{v_1^2}{c^2})m_1{𝐯}_1+\frac{q_1}{c}𝐀\left({𝐫}_1\right)$

$𝐀\left({𝐫}_1\right)=\frac{q_2}{2c}\frac{1}{r}[\mathrm{𝟏}+\widehat{𝐫}\widehat{𝐫}]\cdot {𝐯}_2$

$𝐫={𝐫}_1-{𝐫}_2$

Гамільтоніан Дарвіна для двох частинок у вакуумі

Гамільтоніан Дарвіна для двох частинок у вакуумі пов'язаний з лагранжіаном Дарвіна через перетворення Лежандра:

$H={𝐩}_1\cdot {𝐯}_1+{𝐩}_2\cdot {𝐯}_2-L.$

В такому випадку маємо гамільтоніан:

$H({𝐫}_1,{𝐩}_1,{𝐫}_2,{𝐩}_2)=(1-\frac{1}{4}\frac{p_1^2}{m_1^2{c}^2})\frac{p_1^2}{2m_1}+(1-\frac{1}{4}\frac{p_2^2}{m_2^2{c}^2})\frac{p_2^2}{2m_2}+\frac{q_1{q}_2}{r}-\frac{q_1{q}_2}{r}\frac{1}{2m_1{m}_2{c}^2}{𝐩}_1\cdot [\mathrm{𝟏}+\widehat{𝐫}\widehat{𝐫}]\cdot {𝐩}_2.$

Рівняння руху Гамільтона

Рівняння руху Гамільтона мають вигляд:

${𝐯}_1=\frac{\partial H}{\partial {𝐩}_1}$

та

$\frac{d{𝐩}_1}{dt}=-{\mathrm{\nabla }}_{1}H$

Це дає:

${𝐯}_1=(1-\frac{1}{2}\frac{p_1^2}{m_1^2{c}^2})\frac{{𝐩}_1}{m_1}-\frac{q_1{q}_2}{2m_1{m}_2{c}^2}\frac{1}{r}[\mathrm{𝟏}+\widehat{𝐫}\widehat{𝐫}]\cdot {𝐩}_2$

та

$\frac{d{𝐩}_1}{dt}=\frac{q_1{q}_2}{r^2}\widehat{𝐫}+\frac{q_1{q}_2}{r^2}\frac{1}{2m_1{m}_2{c}^2}\{{𝐩}_1\left(\widehat{𝐫}\cdot {𝐩}_2\right)+{𝐩}_2\left(\widehat{𝐫}\cdot {𝐩}_1\right)-\widehat{𝐫}[{𝐩}_1\cdot (\mathrm{𝟏}+3\widehat{𝐫}\widehat{𝐫})\cdot {𝐩}_2]\}$

Слід зазначити, що для рівняння Брейта першопочатково використовувались дарвінівський лагранжіан та гамільтоніан. Проте найкраще воно підтверджується в теорії поглинання Вілера-Фейнмана і тепер в квантовій електродинаміці.

Див. також

• Список об'єктів, названих на честь Жозефа-Луї Лагранжа

Джерела

• Jackson, John D., Classical Electrodynamics (3rd ed.). Wiley, 1998, pp. 596-598