Теорема Слуцького

Теоре́ма Слу́цького — твердження в теорії ймовірностей про деякі алгебраїчні властивості збіжності за розподілом випадкових величин. Названа на честь економіста і математика Євгена Слуцького. Іноді також називається теоремою Крамера.

Формулювання

Нехай заданий ймовірнісний простір $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$, і $X_n,Y_m:\mathrm{\Omega }\to ℝ,n,m\in \mathbb{N}$ — випадкові величини. Тоді якщо

$X_n{\to }^{𝒟}X$,

де $X:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ — випадкова величина, і

$Y_m{\to }^{\mathbb{P}}c$,

де $c\in ℝ$ — деяка константа, то

• $X_n+Y_n{\to }^{𝒟}X+c$
• $X_n\cdot Y_n{\to }^{𝒟}c\cdot X$.

Якщо також $c\ne 0$ то:

• $Y_n^{-1}{X}_n\stackrel{d}{\to }{c}^{-1}X$

Узагальнення

При тих же умовах на послідовності випадкових величин $X_n,Y_m$ для неперервної функції $f:{ℝ}^2\to ℝ$ виконується рівність:

$f(X_n,Y_n){\to }^{𝒟}f(X,c)$.

Див. також

• Збіжність випадкових величин
• Збіжність за ймовірністю;
• Збіжність за розподілом.

Джерела

• Шаблон:Карташов.Імовірність процеси статистика
• Шаблон:Гнеденко.Курс теории вероятностей
• Шаблон:Гіхман.Скороход.Ядренко
• Athreya, Krishna B.; Lahiri, Soumendra N. (2006), Measure theory and probability theory, Springer, ISBN 0-387-32903-X