Лінійне відображення

Лінійним відображенням (лінійним оператором, лінійним перетворенням) — називається відображення векторного простору $V$ над полем $K$ в векторний простір $W$ (над тим же полем $K$ )

f : V_{K} \to W_{K},

що має властивість лінійності:

f (α x + β y) = α f (x) + β f (y) \forall x, y \in V_{K}, \forall α, β \in K .

Лінійне відображення зберігає операції додавання векторів і множення вектора на скаляр:

f (x + y) = f (x) + f (y)

адитивність

f (α x) = α f (x)

однорідність

Лінійне відображення векторних просторів є їх гомоморфізмом. А у випадку бієктивності відображення то й ізоморфізмом.

Лінійне відображення — важливе поняття лінійної алгебри, завдяки якому вона отримала свою назву.

У функціональному аналізі розглядаються неперервні лінійні оператори між топологічними векторними просторами, але означення "неперервний" зазвичай випускається.

Лінійне відображення, лінійний оператор — узагальнення лінійної числової функції (точніше, функції $y = k x$ ) на випадок більш загальної множини аргументів і значень. Лінійні оператори, на відміну від нелінійних, достатньо добре досліджені, що дозволяє успішно застосовувати результати загальної теорії, оскільки їх властивості не залежать від природи величин.

Часткові випадки

Лінійний функціонал — лінійний оператор, для якого $W_{K} = K$

f : V_{K} \to K

множина всіх лінійних функціоналів складає спряжений простір до $V$ , який теж є лінійним простором (позначається звичайно $V^{*}$ )

лінійне перетворення — лінійний оператор, для якого $V_{K} = W_{K}$

f : V_{K} \to V_{K}

Тотожний оператор — оператор $x \mapsto x$ , що відображає кожен елемент простору $V_{K}$ в самого себе.
Нульовий оператор — оператор, що переводить кожен елемент простору $V_{K}$ в нульовий елемент простору $W_{K} .$

Композиції лінійних відображень

Якщо f:V→W і g:W→Z є лінійними відображеннями, то відображення g•f : V→Z також є лінійним.
Якщо існує обернене відображення до лінійного відображення, то воно теж є лінійним.
Якщо f₁:V→W і f₂:V→W є лінійними відображеннями, то відображення f₁+f₂ (визначене як (f₁+f₂)(x) = f₁(x) + f₂(x)) теж є лінійним.
Якщо f:V→W є лінійним відображенням і a елемент з поля K (базового для V і W), тоді відображення af, визначене як (af)(x) = a (f(x)), також лінійне.

В скінченномірному випадку ці властивості подібні властивостям матриць: множення, додавання і множення на скаляр.

Ядро та образ відображення

Шаблон:Main

Ядром лінійного відображення $f : V \to W$ називається така підмножина $V$ що:

\ker (f) = {x \in V : f (x) = 0}

Ядро лінійного відображення утворює лінійний підпростір в просторі

V .

Образом лінійного відображення $f : V \to W$ називається така підмножина $W$ що:

im (f) = {w \in W : w = f (x), x \in V}

Образ лінійного відображення утворює лінійний підпростір в просторі

W .

Між розмірностями образу і ядра існує таке співвідношення:

\dim (\ker f) + \dim (im f) = \dim (V)

Число $\dim (im f)$ називається ранг $f$ і записується як $rank (f)$ чи $rk (f) .$

Якщо розмірності $V$ і $W$ скінченні й вибрані базиси, то лінійне відображення задається своєю матрицею відносно до цих базисів.

І ранг відображення збігається з рангом матриці відображення.

Матриця лінійного відображення

Якщо в просторі $V$ вибрано базис $(e_{1}, \dots, e_{n})$ , в просторі $W$ вибрано базис $(f_{1}, \dots, f_{m})$ , то матрицею лінійного відображення в даних базисах називається матриця

A = ‖ \begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 n} \\ \dots \\ a_{m 1} & \dots & a_{m n} \end{matrix} ‖

j-ий стовпчик якої складається з координат вектора $A e_{j}$ , тобто координат образу j-го базисного вектора

A e_{j} = (a_{1 j} f_{1} + \dots + a_{m j} f_{m})

в базисі

(f_{1}, \dots, f_{m}) .

Координати $(y_{1}, \dots, y_{m})$ образу $A x$ вектора $x$ в базисі $(f_{1}, \dots, f_{m})$ при лінійному відображенні $A$
виражаються через координати $(x_{1}, \dots, x_{n})$ вектора $x$ в базисі $(e_{1}, \dots, e_{n})$ за формулою:

‖ \begin{matrix} y_{1} \\ ⋮ \\ y_{m} \end{matrix} ‖ = A ‖ \begin{matrix} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix} ‖

Матриці лінійного відображення в різних базисах

Якщо A і Ã відповідно матриці лінійного відображення $f$ в базисах $(e_{1}, \dots, e_{n}); (f_{1}, \dots, f_{m})$ і $({e_{1}}^{'}, \dots, {e_{n}}^{'}); ({f_{1}}^{'}, \dots, {f_{m}}^{'})$ то

\tilde{A} = T^{- 1} A S

де S і T — матриці переходу від базису $(e_{1}, \dots, e_{n})$ до базису $(f_{1}, \dots, f_{m})$ і від базису $({e_{1}}^{'}, \dots, {e_{n}}^{'})$ до базису $({f_{1}}^{'}, \dots, {f_{m}}^{'})$ відповідно:

({e_{1}}^{'}, \dots, {e_{n}}^{'}) = (e_{1}, \dots, e_{n}) S,

({f_{1}}^{'}, \dots, {f_{m}}^{'}) = (f_{1}, \dots, f_{m}) T .

При лінійному перетворенні (тобто, коли відображення в той же простір):

для зміни базису використовується матриця переходу;
матриці перетворення в різних базисах є подібними матрицями.

Див. також

Примітки

Шаблон:Reflist

Джерела

Шаблон:Лінійна алгебра

Лінійне відображення

Зміст

Часткові випадки

Композиції лінійних відображень

Ядро та образ відображення

Матриця лінійного відображення

Матриці лінійного відображення в різних базисах

Див. також

Примітки

Джерела

Навігаційне меню

Лінійне відображення

Часткові випадки

Композиції лінійних відображень

Ядро та образ відображення

Матриця лінійного відображення

Матриці лінійного відображення в різних базисах

Див. також

Примітки

Джерела

Навігаційне меню

Пошук