Список моментів інерції

Нижче приведено список формул, за якими розраховуються моменти інерції різних тіл. Розмірність масових моментів інерції — маса×довжина². Це обертовий аналог маси тіл. Ці моменти інерції не слід плутати із моментами інерції плоских перерізів, які використовуються при розрахунку згинів і деформацій.

Нижченаведені моменти інерції допускають лише сталу густину тіл обертання, а вісь обертання проведена через центр мас, якщо не зазначено інше

Опис	Фігура	Момент(и) інерції	Коментар
Точкова маса m на відстані r від осі обертання.		$I=m{r}^2$	Точка не має моменту інерції відносно осі, що проходить крізь неї. Наведений вираз отримано з теореми Штейнера.
Дві точкові маси, M і m, із зведеною масою $\mu$ на віддалі, x одна від одної.		$I=\frac{Mm}{M+m}{x}^2=\mu x^2$	—
Стрижень довжиною L і масою m (Вісь обертання проходить через один із кінців стрижня)		$I_{\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{d}}=\frac{m{L}^2}{3}$	В цьому виразі припускається що стрижень нескінченно тонкий (однак твердий). Це також є частковим випадком тонкої прямокутної площини з осями обертання на краю площини з h = L і w = 0.
Стрижень довжиною L і масою m		$I_{\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}}=\frac{m{L}^2}{12}$	В цьому виразі припускається що стрижень нескінченно тонкий (однак твердий). Це також є частковим випадком тонкої прямокутної площини з осями обертання що проходять через центр площини, w = L і h = 0.
Тонке кільце радіусу r маси m		$I_z=m{r}^2$ $I_x=I_y=\frac{m{r}^2}{2}$	Це частковий випадок тора для якого b=0. (див. нижче), а також тонкостінного циліндра без основ, з r1=r2 і h=0.
Тонкий суцільний диск, радіусу r і маси m		$I_z=\frac{m{r}^2}{2}$ $I_x=I_y=\frac{m{r}^2}{4}$	Це частковий випадок суцільного циліндра,з h=0.
Тонка циліндрична оболонка з без основ, радіусу r маси m		$I=m{r}^2$	Цей вираз говорить що товщина оболонки нескінченно мала. Це частковий випадок тонкостінної циліндричної труби для r1=r2. Також, точкова маса (m) на кінці стрижня довжиною r має саме такий момент інерції а значення r називають радіусом інерції .
Суцільний циліндр радіусу r, висоти h і маси m		$I_z=\frac{m{r}^2}{2}$   $I_x=I_y=\frac{1}{12}m(3r^2+h^2)$	Це частковий випадок тонкостінної циліндричної труби з r1=0. (Зауваження: осі X-Y повинні помінятися місцями для стандартної правої трійки базисних векторів)
Тонкостінна циліндрична труба з без основ з внутрішнім радіусом r1, зовнішнім радіусом r2, довжиною h і масою m		$I_z=\frac{1}{2}m({r_1}^2+{r_2}^2)$   $I_x=I_y=\frac{1}{12}m[3({r_2}^2+{r_1}^2)+h^2]$ або ж вводячи нормовану товщину tn = t/r і припускаючи r = r2, then $I_z=m{r}^2(1-t_n+\frac{1}{2}{t_n}^2)$	З густиною ρ і такою ж геометрією $I_z=\frac{1}{2}\pi \rho h({r_2}^4-{r_1}^4)$ $I_x=I_y=\frac{1}{12}\pi \rho h(3({r_2}^4-{r_1}^4)+h^2({r_2}^2-{r_1}^2))$
Сфера (пустотіла) радіуса r і маси m		$I=\frac{2m{r}^2}{3}$	Пустотіла сфера може розглянута такою, що зроблена з двох наборів нескінченно-тонких, круглих обручів, в яких радіус змінюється від 0 до r (або одного набору, в якого радіус змінюється з -r до r).
Куля (суцільна) радіусу r і маси m		$I=\frac{2m{r}^2}{5}$	Сфера може розглядатись як така, що зроблена з двох наборів нескінченно-тонких твердих дисків в яких радіус змінюється від 0 до r (або одного набору в якого радіус змінюється від -r до r). Також, може розглядатись як зроблена з нескінченно тонких, пустотілих сфер, де радіус змінюється від 0 до r.
Прямокутний Конус радіусу r висоти height h і маси m.		$I_z=\frac{3}{10}m{r}^2$   $I_x=I_y=\frac{3}{5}m(\frac{r^2}{4}+h^2)$	—
Трубчатий тор радіусу а, з радіусом перерізу b і маси m.		Навколо діаметра: $\frac{1}{8}(4a^2+5b^2)m$   Навколо вертикальної осі: $(a^2+\frac{3}{4}{b}^2)m$	—
Еліпсоїд (суцільний) з напівосями a, b, і c з віссю обертання a і масою m		$I_a=\frac{m(b^2+c^2)}{5}$	—
Тонка прямокутна площина висоти h і ширини w і маси m (Вісь обертання на краю площини)		$I_e=\frac{m{h}^2}{3}+\frac{m{w}^2}{12}$	—
Тонка прямокутна площина висоти h і ширини w і маси m		$I_c=\frac{m(h^2+w^2)}{12}$	—
Суцільний кубоїд висоти h, ширини w, і глибини depth d, маси m		$I_h=\frac{1}{12}m(w^2+d^2)$ $I_w=\frac{1}{12}m(h^2+d^2)$ $I_d=\frac{1}{12}m(h^2+w^2)$	Для схоже орієнтованого куба з ребрами $s$, $I_{CM}=\frac{m{s}^2}{6}$.
Суцільний кубоїд висоти D, ширини W, довжини L, і маси m з найдовшою діагоналлю в ролі осі обертання.		$I=\frac{m(W^2{D}^2+L^2{D}^2+L^2{W}^2)}{6(L^2+W^2+D^2)}$	Для куба з ребрами $s$, $I=\frac{m{s}^2}{6}$.
Плоский многокутник з вершинами ${\overrightarrow{P}}_1$, ${\overrightarrow{P}}_2$, ${\overrightarrow{P}}_3$, ..., ${\overrightarrow{P}}_N$ і масою $m$ однорідно розподіленою на його поверхні, що обертається навколо осі перпендикулярній до площини і проходить через початок координати.		$I=\frac{m}{6}\frac{\sum _{n=1}^{N-1}\Vert {\overrightarrow{P}}_{n+1}\times {\overrightarrow{P}}_n\Vert (({\overrightarrow{P}}_{n+1}\cdot {\overrightarrow{P}}_{n+1})+({\overrightarrow{P}}_{n+1}\cdot {\overrightarrow{P}}_n)+({\overrightarrow{P}}_n\cdot {\overrightarrow{P}}_n))}{\sum _{n=1}^{N-1}\Vert {\overrightarrow{P}}_{n+1}\times {\overrightarrow{P}}_n\Vert }$	Цей вираз передбачає, що многокутник є опуклим. Вектори ${\overrightarrow{P}}_1$, ${\overrightarrow{P}}_2$, ${\overrightarrow{P}}_3$, ..., ${\overrightarrow{P}}_N$ є радіус-векторами вершин.
Нескінченний круг з масою, що нормально розподілена на двох осях навколо обертання (тобто $\rho (x,y)=\frac{m}{2\pi ab}{e}^{-((x/a{)}^2+(y/b{)}^2)/2}$ де : $\rho (x,y)$ — масова густина як функція x і y).		$I=m(a^2+b^2)$	—

Див. також

• Теорема Штейнера
• Махове колесо