Ізометрія (математика)

Шаблон:Otheruses Шаблон:UniboxІзометрія, або рух, або (рідше) накладення — бієкція (перетворення), яка зберігає відстань між відповідними точками, тобто якщо $A^{\prime }$ і $B^{\prime }$ — образи точок $A$ і $B$ , то $|A^{\prime }{B}^{\prime }|=|AB|$. Термін «ізометрія» поширеніший в метричній геометрії, зокрема, в рімановій геометрії. У загальному випадку метричного простору (наприклад, для неплоских ріманових многовидів) рухи можуть існувати далеко не завжди.

Термін «рух» поширеніший в евклідовій геометрії і суміжних галузях.

У евклідовому (або псевдоевклідовому) просторі ізометрія автоматично зберігає також кути, тобто, зберігаються всі скалярні добутки.

Визначення

Хіральність α-амінокислот

Рух — перетворення простору в себе, за якого зберігається відстань між відповідними точками (умова 1) й зберігаються орієнтації просторових фігур (умова 2). Рух у просторі є обертанням навколо осі, або паралельне перенесення, або гвинтовий рух, тобто обертання навколо декотрої осі з наступним паралельним перенесенням уздовж цієї осі. Якщо за перетворення простору в себе виконується лише перша умова, то це перетворення називається ортогональним. Наприклад, перетворення симетрії площини, за кого змінюється орієнтація фігури (Хіральність (математика)).

Початкові координати точки $A=\left(\begin{array}{c}{x}_A\\ y_A\\ z_A\end{array}\right),$ перетворення до нових координат відбувається за лінійного перетворення:

$\left(\begin{array}{c}{x}_{A^{\prime }}\\ y_{A^{\prime }}\\ z_{A^{\prime }}\end{array}\right)=U\left(\begin{array}{c}{x}_A\\ y_A\\ z_A\end{array}\right),$

які можна представити квадратною матрицею з елементами $\{a_{ik}\}:$

$\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_A\\ y_A\\ z_A\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_A+a_{12}{y}_A+a_{13}{z}_A\\ a_{21}{x}_A+a_{22}{y}_A+a_{23}{z}_A\\ a_{31}{x}_A+a_{32}{y}_A+a_{33}{z}_A\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_{A^{\prime }}\\ y_{A^{\prime }}\\ z_{A^{\prime }}\end{array}\right).$

Ця матриця називається матрицею перетворення. Коефіцієнти $\{a_{ik}\}$ задовільняють умові (див. Дельта Кронекера):

$a_{1i}{a}_{1k}+a_{2i}{a}_{2k}+a_{3i}{a}_{3k}={\delta }_{ij}=\{\begin{array}{c}1,\text{якщо}i=k,\\ 0,\text{якщо}i\ne k,\end{array}$

та визначник, $\mathrm{\Delta }=a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}-a_{13}{a}_{22}{a}_{31}-a_{12}{a}_{21}{a}_{33}{a}_{11}{a}_{23}{a}_{32},$ дорівнює +1. У ортогональних перетвореннях можлива рівність $\mathrm{\Delta }=-1,$ що відрізняє їх від руху.

На площині виділяють два роди руху:

1. Рух першого роду, який не виводить з площини й не змінює орієнтації фігур (паралельне перенесення або обертання).
2. Рух другого роду, який виводить з площини (переготання площини у просторі) й змінює орієнтацію фігури (симетрія відносно прямої з наступним перенесенням або обертанням).

В разі повороту на кут $\phi$ по годинковій стрілці навколо осі $z$ матриця перетворення має вигляд:

$U=\left(\begin{array}{ccc}\cos \phi & \sin \phi & 0\\ -\sin \phi & \cos \phi & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$

Ця матриця є частковим випадком матриці перетворення координат, елементи якої виражені через кути Ейлера $\phi ,\theta ,\psi .$ Для наведеної матриці $\theta =0,\psi =0.$

Файл:Hregrevrevwewqvq.tif

$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=x\cos \phi +y\sin \phi \\ y^{\prime }=-x\sin \phi +y\cos \phi \\ z^{\prime }=z\end{array}$

або

$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=\cos \phi \cdot x+\sin \phi \cdot y+0\cdot z\\ y^{\prime }=-\sin \phi \cdot x+\cos \phi \cdot y+0\cdot z\\ z^{\prime }=0\cdot x+0\cdot y+1\cdot z\end{array}$

Рух першого роду у прямокутній системі координат:

$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=x\cos \phi -y\sin \phi +a,\\ y^{\prime }=x\sin \phi +y\cos \phi +b,\end{array}$

де $a,b$ - координати нового початку, $(x^{\prime },y^{\prime })$ - координати точки $M^{\prime }$ (образу), яка відповідає координатам $(x,y)$ точки $M$ (прообразу), $\phi$ - кут між додатним напрямком осі $Ox$ та її образом - віссю $O^{\prime }{x}^{\prime }.$

Для руху другого роду:

$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=x\cos \phi +y\sin \phi +a,\\ y^{\prime }=x\sin \phi -y\cos \phi +b.\end{array}$

Види ізометрії в евклідовому просторі

На площині

• Осьова симетрія (відбиття);
• Паралельне перенесення;
• Обертання;
• Ковзна симетрія — композиція переносу на вектор, що паралельний до прямої, і симетрії цієї прямої.

У тривимірному просторі

• Дзеркальна симетрія (відбиття) щодо площини;
• Паралельний перенос;
• Поворот;
• Ковзна симетрія — композиція перенесення на вектор, що паралельний до площини, і симетрії цієї площини;
• Дзеркальне обертання — композиція повороту навколо деякої прямої і відбиття відносно площини, що перпендикулярна осі повороту;
• Гвинтове накладання — композиція повороту відносно деякої прямої і перенесення на вектор, що паралельний цій прямій.

У n-вимірному просторі

У $n$-вимірному всі просторі рухи зводяться до ортогональних перетворень, паралельних переносів або композицій того й іншого.

У свою чергу ортогональні перетворення можуть бути представлені як композиції (власне) обертань і дзеркальних відбиттів.

Загальні властивості ізометрії в евклідовому просторі

• Композиція ізометрій також є ізометрією.
• Ізометрії щодо композиції утворюють групу.
• Ізометрія — афінне перетворення.
• Ізометрія переводить відрізок у відрізок.

Рухи як композиції симетрій

Композиція двох відбиттів щодо незбіжних паралельних осей дає паралельний перенос.

Композиція двох відбиттів щодо непаралельних осей дає поворот.

Будь-яку ізометрію в $n$-мірному евклідовому просторі можна представити у вигляді композиції не більше ніж $n+1$ відбиттів.

Так, паралельний перенос і поворот — композиції двох відбиттів, ковзне відбиття і дзеркальний поворот — трьох, гвинтове накладення — чотирьох.

Див. також

• Хіральність (математика)
• Ізометричні поверхні
• Ізометрична проєкція
• Конгруентність
• Просторова група
• Інволюція
• Ізометрія у фізиці
  • Перетворення Лоренца — вид ізометрії в чотиривимірному псевдоевклідовому просторі Мінковського
• Теорема тенісної ракетки

Джерела

• Шаблон:Гельфанд.Линейная алгебра
• Шаблон:Банах. КФА Лінійні операції