Критична точка (математика)

Критичною точкою диференційовної функції $f:D\to ℝ$, де $D$ — область в $R^n$, називається точка, в якій всі її часткові похідні дорівнюють 0. Ця умова еквівалентна рівності нулю диференціала функції в даній точці, а також рівносильна горизонтальності дотичної до графіка функції гіперплощини. Ця умова є необхідною (але не достатньою) для того, щоб внутрішня точка області могла бути точкою локального мінімуму або максимуму функції.

Значення функції в критичній точці називається критичним значенням. Згідно з лемою Сарда, множина критичних значень будь-якої $C^1$-гладкої функції $f:[a,b]\to ℝ$ має нульову міру Лебега (хоча критичних точок при цьому може бути скільки завгодно, наприклад, для функції $f=const$ будь-яка точка є критичною).

Поняття критичної точки допускає узагальнення на випадок диференційовних відображень $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$, і на випадок диференційовних відображень довільних многовиді $f:N^n\to M^m$. У цьому випадку визначення критичної точки полягає в тому, що ранг матриці Якобі відображення $f$ у ній менший максимального можливого (що дорівнює $\min \{n,m\}$).

Критичні точки функцій і відображень грають важливу роль в таких галузях математики, як диференціальні рівняння, варіаційне числення, теорія стійкості, а також в механіці і фізиці. Дослідження критичних точок гладких відображень становить одне з основних питань теорії катастроф.

Поняття критичної точки узагальнюється також на випадок функціоналів, визначених на нескінченновимірних функціональних просторах. Пошук критичних точок таких функціоналів є важливою частиною варіаційного обчислення. Критичні точки функціоналів (які, у свою чергу, є функціями) називаються екстремалями.

Формальне визначення

Критичною точкою (або особливою точкою, або стаціонарною точкою) неперервно диференційовної функції (відображення) $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$ називається така точка $x_0\in {ℝ}^n$, в котрій диференціал $f_{*}=\frac{\partial f}{\partial x}$ є виродженим лінійним перетворенням відповідних дотичних просторів в точках $x_0$ і $f(x_0)$, тобто розмірність образу $f_{*}$ менша $\min \{n,m\}$. В координатному записі це значить що ранг матриці Якобі функції $f$, складеної із всіх часткових похідних $\frac{\partial f_j}{\partial x_i}(x_0),$ $i=1,\dots ,n,$ $j=1,\dots ,m,$ менший свого максимально можливого значення $\min \{n,m\}$.

Простори ${ℝ}^n$ і ${ℝ}^m$ в цьому визначенні можуть бути замінені на многовиди $N^n$ і $M^m$ таких же розмірностей.

Випадок $m=1$

У разі $m=1$ дане визначення означає, що градієнт $\mathrm{\nabla }f=(f{\text{'}}_{x_1},\dots ,f{\text{'}}_{x_n})$ у даній точці перетворюється в нуль. У найпростішому випадку $n=m=1$ це означає, що похідна $f^{\prime }$ у даній точці дорівнює нулю.

Критична точка називається невиродженою, якщо в ній гессіан $\left|\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}\right|$ відмінний від нуля. Якщо $f$ має клас гладкості не нижче $C^3$, то в околиці невиродженої критичної точки існують координати, в яких функція $f(x)$ має квадратичну нормальну форму (лема Морса).

При $m=1$ має сенс питання про максимум і мінімумі функції. Відповідно до відомого твердженням математичного аналізу, безперервно диференційовна функція $f$, визначена у всьому просторі ${ℝ}^n$ або у його відкритій підмножині, може досягати локального максимуму (мінімуму) тільки в критичних точках, причому якщо точка невироджена, то матриця $\left(\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}\right)=\left(\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}\right),$ $i,j=1,\dots ,n,$ у ній повинна бути від'ємно (додатно) визначена. Останнє є також достатньою умовою локального максимуму (мінімуму).

Див. також

• Лема Ферма
• Індекс критичної точки

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Дороговцев.Математичний аналіз.ч1
• Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, Шаблон:Ref-ru — будь-яке видання.
• Брёкер Т., Ландер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофы, Шаблон:Ref-ru — будь-яке видання.