Гіпоциклоїда

Гіпоцикло́їда (від Шаблон:Lang-el — під, внизу і Шаблон:Lang-el — круг, коло) — плоска крива, що утворюється фіксованою точкою кола, яке котиться без ковзання по внутрішній стороні іншого нерухомого кола.

Рухоме коло називається твірним, нерухоме коло — напрямним.Шаблон:Sfn Шаблон:Rp

Якщо радіус $r$ рухомого кола більший за радіус $R$ нерухомого кола, то в цьому випадку гіпоциклоїду називають перициклоїдою. Будь-яка перициклоїда з параметрами $(R, r)$ еквівалентна епіциклоїді з параметрами $(R, r - R)$ . Шаблон:Sfn Шаблон:Rp

Початковою точкою гіпоциклоїди називають таку її точку $P$ , що лежить на прямій, яка проходить через центр $C$ рухомого кола і його точку опори, і знаходиться по той же бік від $C$ , що і точка опори.Шаблон:Sfn Шаблон:Rp

Початкові точки є каспами (простими точками звороту) гіпоциклоїди. Початкові точки гіпоциклоїди лежать на напрямному колі і збігаються з точками опори твірного кола.

Вершиною гіпоциклоїди називають таку її точку $V$ , що лежить на прямій, яка проходить через центр $C$ рухомого кола і його точку опори, і знаходиться з нею по різні боки від $C$ .Шаблон:Sfn Шаблон:Rp

Будь-яка гіпоциклоїда має однакову кількість вершин і каспів.

Гіпоциклоїда є окремим випадком гіпотрохоїди а також рулети — кривої, що отримана як траекторія точки деякої кривої, що котиться без ковзання по іншій нерухомій кривій.

Окремими випадками гіпоциклоїди є дельтоїда (гіпоциклоїда з трьома каспами) та астроїда (гіпоциклоїда з чотирма каспами).

Граничні випадки гіпоциклоїди:

Якщо радіус напрямного кола прямує до нескінченности ( $R \to \infty$ ), крива стає циклоїдою з тим же радіусом твірного кола.Шаблон:Sfn Шаблон:Rp
Якщо радіус твірного кола прямує до нескінченности ( $r \to \infty$ ), твірне коло стає прямою, що котиться по нерухомому колу, а отримана крива, що описується фіксованою точкою цієї прямої, є евольвентою кола.

Рівняння

Якщо центр нерухомого кола знаходиться в початку координат, його радіус дорівнює $R$ , а радіус кола, що котиться по ньому дорівнює $r$ , то гіпоциклоїда описується параметричними рівняннями відносно $φ$ :

{\begin{matrix} x (φ) = (R - r) \cos φ + r \cos (\frac{R - r}{r} φ) \\ y (φ) = (R - r) \sin φ - r \sin (\frac{R - r}{r} φ) \end{matrix} \begin{matrix} 0 \leq φ \leq 2 π, якщо, \frac{R}{r} = k - натуральне число; \\ 0 \leq φ \leq 2 r \cdot π, якщо, \frac{R}{r} = \frac{p}{q} - раціональне число; \\ 0 \leq φ \leq \infty, якщо, \frac{R}{r} - ірраціональне число . \end{matrix}

При цьому початкова точка гіпоциклоїди, її касп, з якого починається утворення кривої, лежить на додатній частині осі $O x$ .

Кут $φ$ — параметр, а саме — це кут нахилу відрізка між центрами твірних кіл до осі $O x$ .

Параметричне рівняння повернутої відносно початку координат гіпоциклоїди має вигляд:

{\begin{matrix} x (φ) = (R - r) \cos φ + r \cos (\frac{R - r}{r} φ - α) \\ y (φ) = (R - r) \sin φ - r \sin (\frac{R - r}{r} φ - α) \end{matrix} \begin{matrix} \frac{r}{R} \cdot α \leq φ \leq 2 π + \frac{r}{R} \cdot α, якщо, \frac{R}{r} = k - натуральне число; \\ \frac{r}{R} \cdot α \leq φ \leq 2 r \cdot π + \frac{r}{R} \cdot α, якщо, \frac{R}{r} = \frac{p}{q} - раціональне число; \\ \frac{r}{R} \cdot α \leq φ \leq \infty, якщо, \frac{R}{r} - ірраціональне число . \end{matrix}

При цьому гіпоциклоїда повернута відносно початку координат проти годинникової стрілки на кут $β = \frac{r}{R} \cdot α$ (тобто кут між відрізком, що з'єднує початкову точку гіпоциклоїди (її касп, з якого починається утворення кривої) з початком координат, та віссю $O x$ дорівнює $\frac{r}{R} \cdot α$ .

Ввівши величину $k = \frac{R}{r}$ , отримаємо параметричне рівняння звичайної (неповернутої) гіпоциклоїди у вигляді:

{\begin{matrix} x (φ) = r \cdot ((k - 1) \cos φ + \cos ((k - 1) φ)) \\ y (φ) = r \cdot ((k - 1) \sin φ - \sin ((k - 1) φ)) . \end{matrix}

де $R$ — радіус нерухомого кола, $r$ — радіус кола, що котиться. Величина $k$ визначає форму гіпоциклоїди (див. нижче). При $k = 2$ гіпоциклоїда є діаметром нерухомого кола, при $k = 4$ є Астроїдою. Шаблон:Hider

Ці рівняння можна записати більш компактно у комплексній формі:^[1]

z (φ) = r \cdot ((k - 1) e^{i φ} + e^{- i (k - 1) φ})

.

де

кут $φ \in [0, 2 π]$ ;
радіус твірного (рухомого) кола $r$ ;
радіус напрямного (нерухомого) кола $R = k r$ .

Шаблон:Не перекладено для гіпоциклоїди має вигляд:Шаблон:Sfn Шаблон:Rp

\frac{ρ^{2}}{a^{2}} + \frac{(ℓ - b)^{2}}{b^{2}} = 1

де
$a = \frac{4 r \cdot (R - r)}{R - 2 r}$ , $b = \frac{4 r \cdot (R - r)}{R}$
$ρ$ — радіус кривини гіпоциклоїди в певній точці;
$ℓ$ — довжина дуги гіпоциклоїди від її початку до цієї точки.

Це рівняння виражає наступну властивість гіпоциклоїди:

Якщо дуга гіпоциклоїди котиться без ковзання по прямій $A B$ , то центр кривини точки дотику рухається по еліпсу; центр останнього лежить в тій точці прямої $A B$ , через яку прокочується вершина гіпоциклоїди; одна з напіввісей збігається з прямою $A B$ і по довжині дорівнює половині арки гіпоциклоїди, а саме: $| \frac{4 r \cdot (R - r)}{R} |$ .

Друга напіввісь є радіусом кривини в вершині і дорівнює: $| \frac{4 r \cdot (R - r)}{R - 2 r} |$ .Шаблон:Sfn Шаблон:Rp

Властивості та особливості форми

Будь-яка гіпоциклоїда лежить в круговому кільці, обмеженому колами з радіусами $| R - 2 r |$ та $R$ .

На першому з них лежать вершини, а на другому — каспи гіпоциклоїди.

При повороті навколо початку координат (центру нерухомого кола) $O$ на кут, кратний $2 π \cdot \frac{r}{R}$ , гіпоциклоїда суміщається сама з собою.Шаблон:Sfn Шаблон:Rp
Якщо $k = \frac{R}{r}$ — натуральне число, то гіпоциклоїда є замкненою алгебричною кривою $2 (k - 1)$ порядку;

Крива складається з $k$ конгруентних арок, а отже, має $k$ вершин та каспів (тобто точок звороту).
Точок самоперетину не має.

При цьому твірне коло, що обертається навколо нерухомого кола, робить Шаблон:Math повних обертів навколо свого центру.

Якщо $k = \frac{R}{r} = \frac{p}{q}$ — раціональне число, виражене у вигляді нескоротного дробу, то гіпоциклоїда є замкненою алгебричною кривою $2 \cdot | p - q |$ порядку;

Крива складається з $p$ конгруентних арок, а отже, має $p$ вершин та каспів.
Крива має $p \cdot (q - 1)$ точок самоперетину, якщо $q < \frac{p}{2}$ та p i q — взаємопрості числа.

При цьому твірне коло, що обертається навколо нерухомого кола, робить Шаблон:Math повних обертів навколо свого центру.

Якщо $k$ — ірраціональне число, то гіпоциклоїда є незамкненою кривою, та має нескінченну кількість арок, вершин та каспів.
Гіпоциклоїда має однакову кількість вершин та каспів;
Будь-яка гіпоциклоїда з радіусами нерухомого та рухомого кіл $R$ та $r$ за формою тотожна з гіпоциклоїдою з радіусами нерухомого та рухомого кіл $R$ та $R - r$ .Шаблон:Sfn Шаблон:Rp

Відмінність полягає у розмірі твірного кола, а отже і верхньому значенні параметра $φ$ , при якому крива замикається.

Властивість нормалі та дотичної

Нормаль, що проведена через будь-яку точку $M$ гіпоциклоїди, проходить через відповідну точку дотику $E$ твірного (рухомого) та напрямного (нерухомого) кіл.
Дотична до гіпоциклоїди в деякій її точці $M$ , проходить через точку $E^{'}$ напрямного кола, діаметрально протилежну до точки $E$ .Шаблон:Sfn Шаблон:Rp

Метричні характеристики

Довжина дуги гіпоциклоїди між точками, що відповідають кутам $0 \leq φ \leq φ_{1}$ : Шаблон:Sfn Шаблон:Rp

ℓ = \frac{8 r \cdot (R - 0 r)}{R} \cdot \sin^{2} (\frac{R}{4 r} \cdot φ_{1}) .

Зокрема, довжина дуги однієї повної арки гіпоциклоїди дорівнює:

ℓ = 8 r \cdot (1 - \frac{r}{R})

Якщо $k = \frac{R}{r}$ — натуральне число, то довжина $ℓ$ однієї арки:

ℓ = 8 r \cdot (\frac{k - 1}{k})

а довжина всієї гіпоциклоїди:

ℓ = 8 (k - 1) \cdot r = 8 \frac{k - 1}{k} \cdot R

Площа сектора гіпоциклоїди між точками, що відповідають кутам $0 \leq φ \leq φ_{1}$ : Шаблон:Sfn Шаблон:Rp

S = \frac{(R - r) (R - 2 r)}{2} \cdot (φ_{1} - \frac{r}{R} \cdot \sin (\frac{R}{r} \cdot φ_{1})) .

Площа сектора, що описується полярним радіусом $O M$ гіпоциклоїди, коли точка $M$ пробігає одну її арку: Шаблон:Sfn Шаблон:Rp

S_{1} = \frac{π \cdot r (R - r) (R - 2 r)}{R}

Площа відповідного сектора напрямного (нерухомого) круга: $S_{2} = π \cdot r \cdot R$ .

Таким чином, площа фігури, що обмежена однією аркою гіпоциклоїди та відповідною дугою напрямного кола, дорівнює

S = | S_{1} - S_{2} | = π r^{2} \cdot | 3 - 2 \frac{r}{R} |

Якщо $k = \frac{R}{r}$ — натуральне число, то площа $S$ сектора, що відповідає одній арці гіпоциклоїди, дорівнює

S = \frac{(k - 1) (k - 2)}{k} \cdot π r^{2}

а фігури, що обмежена повною гіпоциклоїдою:

S = (k - 1) (k - 2) \cdot π r^{2} = \frac{(k - 1) (k - 2)}{k^{2}} \cdot π R^{2}

Це означає, що фігура, обмежена гіпоциклоїдою в $(1 - \frac{r}{R}) (1 - 2 \frac{r}{R})$ разів менша за площею, від площі напрямного круга.

Радіус кривини будь-якої гіпоциклоїди в деякій її точці $M$ , що відповідає куту $φ$ :

ρ = \frac{4 r \cdot | R - r |}{| R - 2 r |} \cdot \sin (\frac{R}{2 r} \cdot φ) .

Цю формулу можна записати у вигляді:Шаблон:Sfn Шаблон:Rp

ρ = 2 \cdot M E \cdot | \frac{R - r}{R - 2 r} |

де $M E$ — відрізок, що сполучає точку $M$ гіпоциклоїди і точку опори $E$ твірного кола.

В точках звороту гіпоциклоїди радіус кривини дорівнює $ρ = 0,$
В вершинах гіпоциклоїди радіус кривини дорівнює $ρ = \frac{4 r \cdot | R - r |}{| R - 2 r |} .$

Гіпоциклоїда та її еволюта подібні.^[2]

Відношення подібності складаєШаблон:Sfn Шаблон:Rp $R : (R - 2 r) .$ Еволюта має той же центр, що і початкова гіпоциклоїда. Каспи еволюти збігаються з вершинами початкової кривої. Отже, еволюту можна отримати, повернувши дану гіпоциклоїду на кут $π \cdot \frac{r}{R}$ , а потім відповідно маштабувавши її.