Диференціал Абеля

Абеля диференціал — голоморфний, або мероморфний диференціал на компактній, або замкнутій поверхні Рімана S.

Нехай g — рід поверхні S; a₁b₁a₂b₂..a_gb_g — цикли канонічної бази S. В залежності від характеру особливостей розрізняють диференціали Абеля трьох типів: I, II, III причому мають місце строгі включення: $I\subset II\subset III$. Диференціал Абеля І-го роду — це голоморфні всюди на S диференціали 1-го порядку, котрі в околі U кожної точки $P_0\in S$ мають вигляд $\omega =pdz=p(z)dz$, де $z=x+iy$ — локальна уніформізуюча змінна в U, $dz=dx+idy$, а p(z) — голоморфна, або регулярна аналітична функція на U. Додавання і множення диференціалів Абеля визначаються звичайними правилами(див. диференціал).

Диференціали Абеля І роду формують векторний простір $𝔘$ розмірності g. Після введення скалярного добутку

$(\omega ,\pi )=\underset{D}{\iint }\omega *\bar{\pi }$,

де $\omega *\bar{\pi }$ — зовнішній добуток $\omega$ на зірково спряжений диференціал $\bar{\pi }$, $𝔘$ перетворюється в Гільбертів простір.

Нехай $A_1,B_1,A_2,B_2,\dots A_g,B_g$ — А- і В- періоди другого роду диференціала Абеля. І роду $\omega$, тобто інтеграли

$A_j=\underset{a_j}{\int }\omega ,B_j=\underset{b_j}{\int }\omega ,j=1,2,\dots ,g$. (1)

Тоді справедливе наступне співвідношення:

${\Vert \omega \Vert }^2=i\sum _{j=1}^g(A_j{\bar{B}}_j-B_j{\bar{A}}_j)\ge 0$

Нехай $A_1^{\prime },B_1^{\prime },A_2^{\prime },B_2^{\prime },\dots A_g^{\prime },B_g^{\prime }$ — періоди другого роду диференціала Абеля І-го роду $\pi$, то

$i(\omega ,\bar{\pi })=\sum _{j=1}^g(A_j{B}_j^{\prime }-B_j{A}_j^{\prime })=0$. (2)

Співвідношення (1) і (2) називають білінійними відношеннями Рімана для диференціала Абеля І роду. Канонічна база диференціала Абеля І роду, тобто канонічна база ${\phi }_1,{\phi }_2,\dots ,{\phi }_g$ простору $𝔘$, вибирається таким чином, щоб

$A_{ij}=\underset{a_i}{\int }{\phi }_i={\delta }_{ij}$,

де ${\delta }_{ij}$ — символ Кронекера. При цьому матриця $(B_{ij}),i,j=\overline{1,g}$, B-періодів

$B_{ij}=\underset{b_j}{\int }{\phi }_{ij}$

симетрична, а матриця уявних частин $(Im{B}_{ij})$ додатно визначена. Диференціал Абеля І роду, у якого всі А- або В- періоди тотожно рівні нулю рівний нулю. Якщо всі періоди диференціала Абеля І роду $\omega$ дійсні, то $\omega =0$.

Диференціали Абеля ІІ і ІІІ роду відносяться до мероморфних диференціалів, тобто до таких аналітичних диференціалів, котрі мають на S не більш ніж скінченну множину особливостей типу полюсів з локальним представленням

$(\frac{a_{-n}}{z^n}+\frac{a_{-n+1}}{z^{n-1}}+\dots +\frac{a_{-1}}{z}+f(z))dz$, (3)

де f(z) — регулярна функція, n — порядок полюсу(якщо $a_{-n}\ne 0$), a_-n — лишок в даному полюсі. При n=1 полюс називається простим. Диференціал Абеля ІІ роду — це мероморфні диференціали, в яких всі лишки дорівнюють нулю. Тобто їхнє локальне представлення має такий вигляд:

$(\frac{a_{-n}}{z^n}+\frac{a_{-n+1}}{z^{n-1}}+\dots +\frac{a_{-2}}{z^2}+f(z))dz$.

Диференціал Абеля ІІІ роду — це диференціал Абеля довільного вигляду.

Якщо $\omega$ — довільний диференціал Абеля з А-періодами $A_1,A_2,\dots ,A_g$, то диференціал Абеля ${\omega }^{\prime }=\omega -A_1{\phi }_1-A_2{\phi }_2-\dots -A_g{\phi }_g$ має нульові А-періоди і називається нормованим. Якщо P₁ i P₂ — довільні точки S, то можна побудувати диференціал Абеля ${\omega }_{1,2}$ з особливостями $\left(\frac{1}{z}\right)dz$ в P₁ і $(-\frac{1}{z})dz$ в P₂, який називається нормальним диференціалом Абеля ІІІ роду. Нехай $\omega$ — довільний диференціал Абеля з лишками $c_1,c_2,\dots ,c_n$ в точках $P_1,P_2,\dots ,P_n$ відповідно, причому $c_1+c_2+\dots +c_n=0$. Якщо $P_0\ne P_{j}j=\overline{1,n}$ така довільна точка на S то $\omega$ можна представити у вигляді лінійної комбінації нормованого диференціала Абеля ІІ роду ${\omega }_2$, скінченного числа нормальних диференціалів Абеля ${\omega }_{j,0}$ і базисних диференціалів Абеля І роду ${\omega }_k$:

$\omega ={\omega }_2+\sum _{j=1}^n{c}_j{\omega }_{j,0}+\sum _{k=1}^g{A}_k{\phi }_k$.

Нехай ${\omega }_3$ — диференціал Абеля ІІІ роду, що має лише прості полюси, з лишками $c_j$ в точках $P_j,j=1,2,...,n$, а ${\omega }_1$ — довільний диференціал Абеля І роду;

$A_k=\underset{a_k}{\int }{\omega }_1,B_k=\underset{b_k}{\int }{\omega }_1,$

$A_k^{\prime }=\underset{a_k}{\int }{\omega }_3,B_k^{\prime }=\underset{b_k}{\int }{\omega }_3,k=1,2,...,g,$

причому цикли $a_k,b_k$ не проходять через полюси ${\omega }_3$. Нехай точка $P_0\in S$ не лежить на циклах $a_k$ і $b_k$, а $L_j$ — шлях від $P_0$ до $P_j$. Тоді маємо білінійні співвідношення для диференціал Абеля І і ІІІ роду:

$\sum _{k=1}^g(A_k{B}_k^{\prime }-A_k^{\prime }{B}_k)=2\pi i\sum _{j=1}^n{c}_j\underset{L_j}{\int }{\omega }_1$.

Аналогічні співвідношення існують і між диференціалами Абеля І і ІІ роду.

Довільний диференціал Абеля ІІІ роду, окрім А- і В- періодів (циклічних), має ще полярні періоди виду $2\pi i{c}_j$ вздовж циклів, гомологічних нулю, але таких, що охоплюють полюси $P_j$. Таким чином для довільного циклу $\gamma$ маємо:

$\underset{\gamma }{\int }{\omega }_3=\sum _{k=1}^g(l_k{A}_k+l_{g+k}{B}_k)+2\pi i\sum _{j=1}^n{m}_j{c}_j,$

де $l_k,l_{g+k},m_k$ — цілі числа.

Див. також

• Список об'єктів, названих на честь Нільса Генріка Абеля

Джерела

• Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 1./ Под ред. И. М. Виноградова. М.: Советская энциклопедия, 1985
• Спрингер Дж., Введение в теорию римановых поверхностей, пер. с англ., М., 1960;
• Неванлинра Р., Униформизация, пер. с нем., М., 1955;
• Чеботарев Н. Г., Теория алгебраических функций, М.— Л., 1948.