Принцип аргументу

Принцип аргументу — теорема в комплексному аналізі, важливий наслідок основної теореми про лишки.

Твердження

Нехай C — простий замкнутий контур. Нехай функція f мероморфна в області обмеженій і не має на C ні нулів ні полюсів. Тоді справедлива формула:

${\oint }_C\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}dz=2\pi i(N-P)$

де $N$ і $P$ — кількість нулів і полюсів функції $f$ в області обмеженій $C$, з врахуванням кратності.

Доведення

Якщо точка $z_0$ є нулем порядку n функції $f$ тоді можна записати $f(z)=(z-z_0{)}^n\varphi (z)$, і функція $\varphi$ є голоморфною в точці $z_0$ і не дорівнює в ній нулю. Продиференціювавши одержимо

$f^{\prime }(z)=(z-z_0{)}^n{\varphi }^{\prime }(z)+n(z-z_0{)}^{n-1}\varphi (z)$

Поділивши на f одержуємо:

$\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}=\frac{(z-z_0{)}^n{\varphi }^{\prime }(z)+n(z-z_0{)}^{n-1}\varphi (z)}{(z-z_0{)}^n\varphi (z)}=\frac{{\varphi }^{\prime }(z)}{\varphi (z)}+\frac{n}{z-z_0}$.

Отже $\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}$ має простий полюс в точці $z_0$ і лишок в цій точці рівний:

$Res(\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)},z_0)=\underset{z\to z_0}{\lim }(z-z_0)[\frac{{\varphi }^{\prime }(z)}{\varphi (z)}+\frac{n}{z-z_0}]=\underset{z\to z_0}{\lim }[(z-z_0)\frac{{\varphi }^{\prime }(z)}{\varphi (z)}+n]=0+n=n,$

що рівно порядку нуля.

Якщо точка $z_p$ є полюсом порядку m, то $f(z)=\frac{g(z)}{(z-z_p{)}^m}$ де функція $g(z)$ є голоморфною в точці $z_p$ і не дорівнює в ній нулю.

Подібними до попередніх розрахунків одержимо, що:

$\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}=\frac{g^{\prime }(z)}{g(z)}+\frac{-m}{z-z_p}$

і лишок в цій точці буде рівним $-m.$

Нехай тепер $z_0^1,\dots ,z_0^r$ — нулі функції f порядків $n_1,\dots ,n_r$ і $z_p^1,\dots ,z_p^s$ — полюси функції f порядків $m_1,\dots ,m_s.$ Згідно з попереднім усі ці точки є простими полюсами функції $\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)},$ лишки в яких рівні відповідно $n_1,\dots ,n_r$ і $-m_1,\dots ,-m_s.$ Згідно з основною теоремою про лишки звідси одержується:

${\oint }_C\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}dz=2\pi i(N-P)$

Див. також

• Основна теорема про лишки
• Теорема Руше
• Теорема Гурвіца (комплексний аналіз)

Література

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Zill Dennis G., Shanahan Patrick D., A first course in complex analysis with applications, Jones and Bartlett Publishers, Inc., ISBN 0-7637-1437-2