Симетричний многочлен

Симетричний многочлен — многочлен від n змінних $F(x_1,x_2,\dots ,x_n)$, що не змінюється при всіх перестановках змінних. Тобто многочлен $F\in R[x_1,\dots ,x_n]$ від n змінних над комутативним кільцем R є симетричним якщо для довільної перестановки

$\sigma =\left(\begin{array}{ccccc}{x}_1& x_2& x_3& \dots & x_n\\ x_{\sigma (1)}& x_{\sigma (2)}& x_{\sigma (3)}& \dots & x_{\sigma (n)}\end{array}\right)$

справедлива рівність:

$F(x_1,\dots ,x_n)=F(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)}).$

Симетричні многочлени утворюють підалгебру R-алгебри $R[x_1,\dots ,x_n]$ многочленів від n змінних над кільцем R.

Приклади

Для двох змінних x₁, x₂ прикладами симетричних многочленів є:

• $x_1^3+x_2^3-7$
• $4x_1^2{x}_2^2+x_1^3{x}_2+x_1{x}_2^3+(x_1+x_2{)}^4$

для трьох змінних x₁, x₂, x₃ наступний многочлен теж буде симетричним

• $x_1{x}_2{x}_3-2x_1{x}_2-2x_1{x}_3-2x_2{x}_3$

Наступний многочлен буде симетричний для довільного n:

• $\prod _{1\le i<j\le n}(X_i-X_j{)}^2.$

Натомість многочлен:

• $x_1-x_2$

не є симетричним, оскільки після перестановки x₁ і x₂ одержується не рівний вихідному многочлен, x₂ − x₁.

Для трьох змінних прикладом несиметричного многочлена є:

• $x_1^4{x}_2^2{x}_3+x_1{x}_2^4{x}_3^2+x_1^2{x}_2{x}_3^4.$

Особливі види симетричних многочленів

Степеневі симетричні многочлени

Степеневими симетричними многочленами називаються суми k — их степенів змінних, тобто:

$p_k(x_1,\dots ,x_n)=x_1^k+x_2^k+\cdots +x_n^k.$

Елементарні симетричні многочлени

Шаблон:Main Елементарні симетричні многочлени мають вигляд:

$\begin{array}{cc}{e}_0(x_1,x_2,\dots ,x_n)& =1,\\ e_1(x_1,x_2,\dots ,x_n)& =\sum _{1\le j\le n}{x}_j,\\ e_2(x_1,x_2,\dots ,x_n)& =\sum _{1\le j<k\le n}{x}_j{x}_k,\\ e_3(x_1,x_2,\dots ,x_n)& =\sum _{1\le j<k<l\le n}{x}_j{x}_k{x}_l,\\ \end{array}$

і так далі до

$e_n(x_1,x_2,\dots ,x_n)=x_1{x}_2\cdots x_n.$

Для довільного многочлена можна записати:

$e_k(x_1,\dots ,x_n)=\sum _{1\le j_1<j_2<\cdots <j_k\le n}{x}_{j_1}\cdots x_{j_k}.$

Елементарні симетричні многочлени є алгебраїчно незалежними, тобто для будь-якого n > 0 не існує такого ненульового многочлена P від n змінних, що $P(e_1,\dots ,e_n)=0.$

Тотожності Ньютона

Шаблон:Main Між степеневими і елементарними функціями існує залежність:

$k{e}_k(x_1,\dots ,x_n)=\sum _{i=1}^k(-1{)}^{i-1}{e}_{k-i}(x_1,\dots ,x_n)p_i(x_1,\dots ,x_n),$

Для перших кільком многочленів рівності мають вигляд:

$\begin{array}{cc}{e}_1& =p_1,\\ 2e_2& =e_1{p}_1-p_2,\\ 3e_3& =e_2{p}_1-e_1{p}_2+p_3,\\ 4e_4& =e_3{p}_1-e_2{p}_2+e_1{p}_3-p_4,\\ \end{array}$

Звідси також можна навпаки визначити степеневі симетричні функції через елементарні:

$\begin{array}{cc}{p}_1& =e_1,\\ p_2& =e_1{p}_1-2e_2,\\ p_3& =e_1{p}_2-e_2{p}_1+3e_3,\\ p_4& =e_1{p}_3-e_2{p}_2+e_3{p}_1-4e_4,\\ & ⋮\end{array}$

Теорема Вієта

Шаблон:Main Однією з причин широкого застосування елементарних симетричних многочленів є теорема Вієта: Нехай P — многочлен із коефіцієнтами з деякого поля старшим коефіцієнтом рівним одиниці. У своєму алгебраїчному замиканні цей многочлен має кількість коренів рівну його степеню (з урахуванням кратності коренів) і можна записати:

$P=t^n+a_{n-1}{t}^{n-1}+\cdots +a_2{t}^2+a_{1}t+a_0=(t-x_1)(t-x_2)\cdots (t-x_n),$

тоді коефіцієнти P виражаються через елементарні симетричні многочлени від його коренів. А саме:

$\begin{array}{cc}{a}_{n-1}& =-x_1-x_2-\cdots -x_n\\ a_{n-2}& =x_1{x}_2+x_1{x}_3+\cdots +x_2{x}_3+\cdots +x_{n-1}{x}_n=\sum _{1\le i<j\le n}{x}_i{x}_j\\ & ⋮\\ a_{n-d}& =(-1{)}^d\sum _{1\le i_1<i_2<\cdots <i_d\le n}{x}_{i_1}{x}_{i_2}\cdots x_{i_d}\\ & ⋮\\ a_0& =(-1{)}^n{x}_1{x}_2\cdots x_n.\\ \end{array}$

Фундаментальна теорема про симетричні многочлени

Нехай R — комутативне кільце з одиницею. Тоді довільний симетричний многочлен від n змінних з коефіцієнтами з R, може бути записаний як многочлен від змінних $e_1,\dots ,e_n$ з коефіцієнтами з R.

Доведення

Для симетричного многочлена $h(x_1,\dots ,x_n)\in R[x_1,\dots ,x_n],$ визначимо T = T_h як множину усіх наборів чисел $(l_1,\dots ,l_n)$ для яких коефіцієнт $x_1^{l_1},\dots ,x_n^{l_n}$ в $h(x_1,\dots ,x_n)$ не рівний нулю. Визначимо розмір h, як $(k_1,\dots ,k_n)$ де $(k_1,\dots ,k_n)$ є елементом T для якого $k_1$ є найбільшим з можливих, $k_2$ — найбільше з можливих при даному $k_1$ і т. д. Оскільки $h(x_1,\dots ,x_n)$ є симетричним, то $(l_1,\dots ,l_n)\in T$ якщо і тільки якщо кожна перестановка $(l_1,\dots ,l_n)$ належить T. Звідси випливає, що $(k_1\ge k_2\ge \dots \ge k_n)$. З використанням введеного поняття розміру всі елементи $R[x_1,\dots ,x_n]$ можна впорядкувати: якщо h₁ має розмір $(k_1,\dots ,k_n)$ і h₂ має розмір $({k_1}^{\prime },\dots ,{k_n}^{\prime })$ тоді h₁ > h₂ якщо для деякого $i\in \{1,\dots ,n-1\}$ виконується $k_1={k_1}^{\prime },\dots ,k_i={k_i}^{\prime }$ і $k_{i+1}>k{\text{'}}_{i+1}.$ Елементи $R[x_1,\dots ,x_n],$ що мають розмір (0, 0, …, 0) є константами, тобто елементами R.

Припустимо що $(k_1,\dots ,k_n)$ є розміром деякого симетричного многочлена $g\in R[x_1,\dots ,x_n]$. Для невід'ємних цілих чисел d₁, …, d_n, розмір $h=e_1^{d_1}{e}_2^{d_2}\dots e_n^{d_n}$ є рівним $(d_1+d_2+\dots +d_n,d_2+\dots +d_n,\dots ,d_{n-1}+d_n,d_n)$. Взявши $d_1=k_1-k_2;d_2=k_2-k_3;\dots ;d_{n-1}=k_{n-1}-k_n,d_n=k_n,$ одержуємо, що розмір h рівний $(k_1,\dots ,k_n)$. Коефіцієнт при $x_1^{k_1},\dots ,x_n^{k_n}$ в h рівний одиниці. Звідси випливає, що існує елемент $a\in R,$ такий, що g − ah має менший розмір ніж g.

Як наслідок для довільного симетричного $f\in R[x_1,\dots ,x_n],$ існують $a_1,\dots ,a_m\in R$ і $h_1,\dots ,h_m\in R[x_1,\dots ,x_n]$ такі, що $f-a_1{h}_1-\dots -a_m{h}_m$ має розмір (0, 0, …, 0). Це завершує доведення теореми.

Див. також

• Симетрична функція

Джерела

• Шаблон:Курош.Лекции по общей алгебре
• Шаблон:Прасолов.Многочлени
• Шаблон:Citation
• M. Filaseta Algebraic number theory. Instructors notes