Бігармонічна функція

Бігармонічна функція — функція $f(x)=f(x_1,\dots ,x_n)$ дійсних змінних, визначена у області D евклідового простору ${ℝ}^n,n\ge 2$, що має неперервні часткові похідні 4-го порядку включно і що задовольняє в D рівнянню:

${\mathrm{\nabla }}^{4}f={\mathrm{\Delta }}^{2}f=0$

де $\mathrm{\nabla }$ — оператор набла, $\mathrm{\Delta }$ — оператор Лапласа.

Дане рівняння називається бігармонічним рівнянням. У декартовій системі координат у випадку трьох змінних рівняння має вигляд:

$\frac{{\partial }^{4}f}{\partial x^4}+\frac{{\partial }^{4}f}{\partial y^4}+\frac{{\partial }^{4}f}{\partial z^4}+2\frac{{\partial }^{4}f}{\partial x^2\partial y^2}+2\frac{{\partial }^{4}f}{\partial y^2\partial z^2}+2\frac{{\partial }^{4}f}{\partial x^2\partial z^2}=0.$

В полярних координатах:

$\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial }{\partial r}\left(\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial f}{\partial r}\right)\right)\right)+\frac{2}{r^2}\frac{{\partial }^{4}f}{\partial {\theta }^2\partial r^2}+\frac{1}{r^4}\frac{{\partial }^{4}f}{\partial {\theta }^4}-\frac{2}{r^3}\frac{{\partial }^{3}f}{\partial {\theta }^2\partial r}+\frac{4}{r^4}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\theta }^2}=0.$

Клас бігармонічних функцій включає клас гармонічних функцій і є підкласом класу полігармонічних функцій. Кожна бігармонічна функція є аналітичною функцією координат x_i.

Найбільше значення з погляду застосувань мають бігармонічні функції $f(x_1,x_2)$ двох змінних. Такі бігармонічні функції записуються за допомогою гармонічних функцій f₁, f₂ або g₁, g₂ у вигляді

$f(x_1,x_2)=x_1{f}_1(x_1,x_2)+f_2(x_1,x_2)$

або

$f(x_1,x_2)=(r^2-r_0^2)g_1(x_1,x_2)+g_2(x_1,x_2)$

де $r^2=x_1^2+x_2^2,$ а $r_0^2$ — константа.

Основна крайова задача для бігармонічних функцій полягає в наступному: знайти бігармонічну функцію у області D, неперервну разом з похідними 1-го порядку в замкнутій області $\overline{D}=D\cup C$ , що задовольняє на границі C умовам

$f{|}_C=f_1(s),\frac{\partial f}{\partial \nu }{|}_C=f_2(s)$

де $\frac{\partial f}{\partial \nu }$ — похідна по нормалі до C, f₁(s), f₂(s) — задані неперервні функції довжини дуги s на контурі C.

Вказані вище подання бігармонічних функцій дозволяють одержати розв'язки крайової задачі в явному вигляді у випадку круга D виходячи з інтеграла Пуассона для гармонічних функцій.

Бігармонічні функції двох змінних допускають також запис

$f(x_1,x_2)=\mathrm{Re}(\overline{z}\varphi (z)+\psi (z))=\frac{1}{2}(\overline{z}\varphi (z)+z\overline{\varphi (z)}+\psi (z)+\overline{\psi (z)}),\overline{z}=x_1-i{x}_2$

за допомогою двох аналітичних функцій $\varphi (z),\psi (z)$ комплексної змінної $z=x_1+i{x}_2$. Це подання дозволяє звести крайову задачу для довільної області D до системи крайових задач для аналітичних функцій, метод розв'язку якої детально розроблений Р. В. Колосовим і Н. І. Мусхелішвілі. Ця методика одержала розвиток при розв'язуванні різних плоских задач теорії пружності, в яких основним бігармонічними функціями є функція напружень і функція Ейрі.

Див. також

• Гармонічна функція

Посилання

• Шаблон:MathWorld

Література

• Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 1./ Под ред. И. М. Виноградова. М.: Советская энциклопедия, 1985
• Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1966, гл. 4;
• Мусхелишвили Н. И., Некоторые основные задачи математической теории упругости, 5 изд., М., 1966, гл. 2;
• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного, 3 изд., М., 1965.