Верхня і нижня границі

Верхня границя (limsup) і нижня границя (liminf)

В математичному аналізі верхня і нижня границі визначаються для числових послідовностей чи функцій і використовуються при їх вивченні. На відміну від звичайної границі, верхня і нижня границі завжди існують (хоч і можуть бути рівними нескінченності). Для нижньої границі послідовності ${\left\{x_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ використовуються позначення $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underset{―}{\lim }}{x}_n$ (поширене в українській і російській літературі) і $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{x}_n$ (поширеніше в західній літературі). Для верхньої границі відповідні позначення мають вигляд $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}{x}_n$ і $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{x}_n.$

Визначення

Визначення для послідовностей

Нижню границю послідовності можна визначити:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underset{―}{\lim }}{x}_n:=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left(\underset{m\ge n}{\inf }{x}_m\right)$

або

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underset{―}{\lim }}{x}_n:=\underset{n\ge 0}{\sup }\underset{m\ge n}{\inf }{x}_m=\sup \{\inf \{x_m:m\ge n\}:n\ge 0\}.$

Подібним чином верхня границя послідовності (x_n) визначається

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{x}_n:=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left(\underset{m\ge n}{\sup }{x}_m\right)$

або

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{x}_n:=\underset{n\ge 0}{\inf }\underset{m\ge n}{\sup }{x}_m=\inf \{\sup \{x_m:m\ge n\}:n\ge 0\}.$

Визначення для функцій

Нехай дано дійсну функцію $f:I\to ℝ,$ де $I\subset ℝ,$ і ξ — граничну точку I, тоді верхню і нижню границю функції в точці ξ можна визначити:

$\underset{x\to \xi }{\bar{\lim }}f(x)=\underset{a>0}{\inf }\sup f((\xi -a,\xi +a)\cap I),$

$\underset{x\to \xi }{\underset{―}{\lim }}f(x)=\underset{a>0}{\sup }\inf f((\xi -a,\xi +a)\cap I).$

Аналогічно можна визначити односторонні границі функції в точці:

$\underset{x\to \xi +}{\bar{\lim }}f(x)=\underset{a>0}{\inf }\sup f((\xi ,\xi +a)\cap I),$

$\underset{x\to \xi +}{\underset{―}{\lim }}f(x)=\underset{a>0}{\sup }\inf f((\xi ,\xi +a)\cap I),$

$\underset{x\to \xi -}{\bar{\lim }}f(x)=\underset{a>0}{\inf }\sup f((\xi -a,\xi )\cap I),$

$\underset{x\to \xi -}{\underset{―}{\lim }}f(x)=\underset{a>0}{\sup }\inf f((\xi -a,\xi )\cap I).$

Визначення для послідовності множин

Нехай Ω — деяка множина, (A_n) — послідовність її підмножин. Тоді верхня і нижня границі цієї послідовності визначаються за формулами:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underset{―}{\lim }}{A}_n=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\bigcap _{m=n}^{\mathrm{\infty }}{A}_m\right)$

і

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}{A}_n=\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\bigcup _{m=n}^{\mathrm{\infty }}{A}_m\right).$

Приклади

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underset{―}{\lim }}\frac{1}{n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}\frac{1}{n}=0$

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underset{―}{\lim }}{(-1)}^n=-1$

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}{(-1)}^n=+1$

Властивості

• У будь-якої послідовності існують верхня і нижня границі, що належать множині $ℝ\cup \{-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }\}.$
• Числова послідовність $\{x_n\}$ збігається до $a$ тоді і тільки тоді, коли $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underset{―}{\lim }}{x}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}{x}_n=a$.
• Для будь-якого наперед узятого додатного числа $\epsilon$ всі елементи обмеженої числової послідовності ${\left\{x_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$, починаючи з деякого номера, залежного від $\epsilon$, лежать усередині інтервалу $(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underset{―}{\lim }}{x}_n-\epsilon ,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}{x}_n+\epsilon )$.
• Якщо за межами інтервалу $(a,b)$ лежить лише скінченна кількість елементів обмеженої числової послідовності ${\left\{x_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$, то інтервал $(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underset{―}{\lim }}{x}_n,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}{x}_n)$ міститься в інтервалі $(a,b)$.
• Виконуються нерівності:
• $\underset{n}{\inf }{x}_n\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{x}_n\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{x}_n\le \underset{n}{\sup }{x}_n$
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}(a_n+b_n)\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}(a_n)+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}(b_n).$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underset{―}{\lim }}(a_n)+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underset{―}{\lim }}(b_n)\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underset{―}{\lim }}(a_n+b_n).$

Див. також

• Верхня та нижня межа
• Інфімум та супремум

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Банах.Диференціальне та інтегральне числення
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Дороговцев.Математичний аналіз.ч1