Кільце Дедекінда
Кільце Дедекінда — область цілісності R в якій кожен ненульовий власний ідеал представляється у вигляді добутку простих ідеалів. Розклад у добуток простих ідеалів при цьому є єдиним з точністю до порядку множників. Свою назву ці кільця одержали від імені Ріхарда Дедекінда, який їх вивчав у 70-их роках 19 століття. При цьому означенні поля є тривіальними прикладами кілець Дедекінда. Зважаючи на їх відмінність від інших видів кілець Дедекінда іноді в означенні вимагається, щоб кільце Дедекінда не було полем.
Приклади
- Кожна область головних ідеалів є кільцем Дедекінда.
- Якщо R є кільцем Дедекінда, L — скінченне алгебраїчне розширення його поля часток, то ціле замикання R' кільця R в L знову буде кільцем Дедекінда.
- Дедекіндовими є кільце цілих алгебраїчних чисел і максимальні порядки полів алгебраїчних чисел, тобто цілі замикання кільця цілих чисел в скінченних алгебраїчних розширеннях поля раціональних чисел.
Еквівалентні означення
Нижче наведено кілька еквівалентних означень в яких також описуються основні властивості кілець Дедекінда.
- Комутативна область цілісності є кільцем Дедекінда тоді і тільки тоді, коли
- R є кільцем Нетер,
- кожен власний простий ідеал кільця R максимальний,
- R цілозамкнуте кільце, тобто рівне своєму цілому замиканню в полі часток.
- Іншими словами, кільце Дедекінда є нетеровим нормальним кільцем, розмірність Круля якого рівна одиниці.
- Кільце R є кільцем Дедекінда тоді і тільки тоді, коли напівгрупа дробових ідеалів цього кільця є групою. Кожен дробовий ідеал кільця Дедекінда R можна єдиним способом записати у вигляді добутку степенів (додатних або від'ємних) простих ідеалів кільця R.
- Кільце Дедекінда R можна охарактеризувати також як кільце Круля розмірності один.
- Кільцем Дедекінда називається нетерова область цілісності для якої всі локалізації по простих ідеалах є кільцями дискретного нормування.
- Кільцем Дедекінда називається область цілісності для якої локалізація по кожному максимальному ідеалу є кільцем дискретного нормування і кожен ненульовий елемент належить лише скінченній кількості простих ідеалів.
- Кільцем Дедекінда називається область цілісності R кожен ідеал якої є проективним модулем над R.
Властивості
- Для кільця Дедекінда R виконується так звана китайська теорема про залишки: для даного скінченного набору ідеалів Ii і елементів xi кільця R, i=1,2,...,n система порівнянь має розв'язок тоді і тільки тоді, коли , для .
- Для будь-якої мультиплікативної підмножини у кільці Дедекінда локалізація теж є кільцем Дедекінда.
- Кільце Дедекінда, що має лише скінченну кількість простих ідеалів є кільцем головних ідеалів.
- Фактор-кільце кільця Дедекінда за будь-яким ненульовим ідеалом є кільцем головних ідеалів.
- Кільце Дедекінда є факторіальним кільцем тоді й лише тоді, коли воно є кільцем головних ідеалів.
- Нехай — кільце Дедекінда, — його ненульовий ідеал і — довільний елемент ідеалу. Тоді існує такий елемент , що елементи породжують . Зокрема кожен ідеал кільця Дедекінда породжується щонайбільше двома елементами.
- Дробові ідеали кілець Дедекінда утворюють групу. Фактор-група цієї групи по підгрупі головних дробових ідеалів називається групою класів ідеалів. У 1966 році Клеборн довів, що для кожної абелевої групи існує кільце Дедекінда група класів ідеалів якого ізоморфна . Лідам-Грін показав, що таке кільце можна завжди отримати як ціле замикання кільця головних ідеалів у квадратичному розширенні його поля часток.
Модулі над кільцем Дедекінда
Для кілець Дедекінда існує структурна теорема скінченнопороджених модулів яка є близькою до такої теореми для кілець головних ідеалів.
Нехай — кільце Дедекінда і — скінченнопороджений модуль над ним. Нехай позначає підмодуль кручення, тобто підмодуль таких елементів , що для деякого . Тоді , де — модуль без кручень.
Тому для класифікації скінченнопороджених модулів достатньо класифікувати всі такі модулі кручень і модулі без кручень.
Для модуля кручень , де для ідеалів виконуються включення . Цей розклад є єдиним з точністю до ізоморфізму.
Для модулів без кручень , де — ідеал кільця і