Ціле розширення кільця

Ціле розширення кільця — розширення B комутативного кільця R з одиницею таке, що будь-який елемент $x\in B$ є цілим над R, тобто задовольняє деякому рівнянню вигляду

$x^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$

де $a_i\in R$. Дане рівняння називається рівнянням цілої залежності. Елемент x є цілим в R тоді і тільки тоді, коли виконується одна з двох еквівалентних умов:

1. R[x] є скінченно породженим R-модулем ;
2. існує точний R[x]-модуль, що є скінченно породженим R-модулем.

Приклади

• Цілий елемент є алгебраїчним над R.
• Якщо R — поле, то вірним є і зворотне твердження.
• Елементи поля комплексних чисел $ℂ$, цілі над кільцем $\mathbb{Z}$, називаються цілими алгебраїчними числами.
• Якщо кільце B є скінченно породженим модулем над R, то будь-який елемент $x\in B$ є цілим над R, тобто розширення є цілим (зворотне може не бути вірним).

Властивості

• Нехай кільце $A\supset R$ — комутативне, x і y — елементи A, цілі над R. Тоді x + y і xy також цілі над R, і множина всіх елементів з A, цілих над R, утворює підкільце, що називається цілим замиканням R в A.

* Якщо B є цілим над R і R'  — деяка R-алгебра, то $B⨂R^{\text{'}}$ є цілим над R'.  

• Якщо В — ціле розширення кільця R і S — деяка мультиплікативна підмножина в R, локалізація S^-1B є цілим розширенням локалізації S^-1R.

Нехай $(a/s)\in S^{-1}B$, де $a\in B,s\in S$. Тоді, оскільки розширення є цілим, для $a$ виконується рівність $a^n+r_1{a}^{n-1}+\dots +r_n=0$ для деяких $n\in \mathbb{N},r_i\in R$. Як наслідок $(a/s{)}^n+(r_1/s)(a/s{)}^{n-1}+\dots +(r_n/s^n)=0$ і оскільки всі $r_i/s^i\in S^{-1}R$, то дана рівність є рівнянням цілої залежності елемента $(a/s)$ над кільцем $S^{-1}R$. Оскільки елемент був обраний довільно, отримуємо необхідний результат.

• Нехай $B\supset A\supset R$ розширення $B\supset R$ є цілим тоді і лише тоді, коли цілими є обидва розширення $B\supset A$ і $A\supset R$.
• Якщо В — ціле розширення кільця R, J — ідеал кільця В і $I=J\cap R$. Тоді фактор-кільце $B/J$ буде цілим розширенням фактор-кільця $R/I$.

Позначимо $\overline{a}=a+J\in B/J$. Для $a$ виконується рівність $a^n+r_1{a}^{n-1}+\dots +r_n=0$ для деяких $n\in \mathbb{N},r_i\in R$. Перейшовши до фактор-кільця за ідеалом J і ідентифікуючи $R/I$ як підкільце $B/J$, отримуємо рівність ${\overline{a}}^n+\overline{r_1}{\overline{a}}^{n-1}+\dots +\overline{r_n}=0,\overline{r_i}\in R/I$, яка і є необхідним рівнянням цілої залежності.

• Нехай $A\supset R$ — ціле розширення областей цілісності. Тоді A є полем, якщо і тільки якщо R є полем.

Припустимо, що R є полем і $0\ne a\in A$. $a^n+r_1{a}^{n-1}+\dots +r_n=0$ для деяких $n\in \mathbb{N},r_i\in R$. Степінь многочлена n можна вибрати мінімальним. Тоді $r_n\ne 0$, оскільки A є областю цілісності і для нього існує обернений елемент адже він належить полю R. Тому $r_n^{-1}(a^{n-1}+r_1{a}^{n-2}+\dots +r_{n-1})a=1$, тож для $a$ існує обернений елемент рівний $r_n^{-1}(a^{n-1}+r_1{a}^{n-2}+\dots +r_{n-1})$, що завершує першу частину доведення.

Навпаки, припустимо, що A є полем і $0\ne b\in R$. Тоді для $b$ як елемента поля A в цьому полі існує обернений елемент. Позначимо $a=b^{-1}.$ Для $a$ існує рівняння цілої залежності над R: $a^n+r_1{a}^{n-1}+\dots +r_n=0$ для деяких $n\in \mathbb{N},r_i\in R$. Помноживши обидві сторони рівняння на $b^n$ отримаємо рівність $1+r_{1}b+\dots +r_n{b}^n=0.$ Звідси бачимо, що елемент $-(r_1+\dots +r_n{b}^{n-1})$ є оберненим до $b$ і належить R. Тобто R теж є полем.

• Нехай $A\supset R$ — ціле розширення кілець, $P^{\prime }$ — простий ідеал кільця A і $P=P^{\prime }\cap R.$ Тоді ідеал $P^{\prime }$ є максимальним тоді і тільки тоді коли ідеал $P$ є максимальним.

Згідно попередніх властивостей фактор-кільце $A/P^{\prime }$ є цілим розширенням фактор-кільця $R/P$. Оскільки обидва ідеали є простими, то ці фактор-кільця є областями цілісності. Згідно попередньої властивості $A/P^{\prime }$ є полем тоді і тільки тоді, коли $R/P$ є полем і необхідний результат випливає з того, що ідеал є максимальним тоді і тільки тоді коли фактор-кільце по ньому є полем.

• Нехай $A\supset R$ — ціле розширення кілець, $P_1\subseteq P_2$ — прості ідеали кільця A і $P_1\cap R=P_2\cap R=P$. Тоді $P_1=P_2$.

Локалізація $A_P$ (по мультиплікативній множині $R\setminus P$) є цілим розширенням локалізації $R_P$. Також $P_1{A}_P\subseteq P_2{A}_P$ є простими ідеалами кільця $A_P$. Оскільки $P_1{A}_P\cap R_P=P_2{A}_P\cap R_P=P{R}_P$ і останній ідеал є максимальним в $R_P$ , то за попередньою властивістю $P_1{A}_P$ і $P_2{A}_P$ теж є максимальними ідеалами у $A_P$. Тому $P_1{A}_P=P_2{A}_P$, звідки також $P_1=P_2$.

• Область цілісності R називається цілозамкнутою, якщо ціле замикання R в своєму полі часток рівне R. Факторіальне кільце є цілозамкнутим. Кільце R є цілозамкнутим тоді і тільки тоді для будь-якого максимального ідеалу $𝔭$ з R цілозамкнутим є локальне кільце $R_{𝔭}$.

• Нехай A — ціле розширення R і $P$ — деякий простий ідеал кільця R. Тоді існує простий ідеал $P^{\prime }$ кільця A, що лежить над $P$ (тобто такий, що $P=P^{\prime }\cap R$).

Гомоморфізм включення $i:R\to A$ однозначно задає гомоморфізм включення локалізацій $\overline{i}:R_P\to A_P.$ Нехай M — довільний максимальний ідеал кільця $A_P$. З попередніх властивостей його перетин $M\cap R_P$ має бути максимальним ідеалом кільця $R_P$, тобто $M\cap R_P=P{R}_P.$

Розглянемо тепер гомоморфізми $p:R\to R_P,\overline{p}:A\to A_P$ задані як $r\to r/1,a\to a/1r\in R,a\in A$. Тоді $p\circ \overline{i}=i\circ \overline{p}$.

Ідеал $P^{\prime }={\overline{p}}^{-1}(M)$ є простим ідеалом кільця A для якого $P^{\prime }\cap R=i^{-1}(P^{\prime })=p^{-1}(P{R}_P)=P$, тобто даний ідеал задовольняє вимоги теореми.

• Теорема про підняття. Нехай $A\supset R$ — ціле розширення кілець, $P_1\subset P_2\subset \dots \subset P_n$ — послідовність простих ідеалів кільця R і ${P_1}^{\prime }\subset {P_2}^{\prime }\subset \dots \subset {P_m}^{\prime },(m<n)$— послідовність простих ідеалів кільця A, для яких $P_i={P_i}^{\prime }\cap R,i\in 1,...,m$. Тоді існують прості ідеали $P_{m^{\prime }+1},\dots ,{P_n}^{\prime }$ кільця A, такі що ${P_1}^{\prime }\subset {P_2}^{\prime }\subset \dots \subset {P_n}^{\prime }$ і$P_i={P_i}^{\prime }\cap R,i\in 1,...,n$.

Очевидно теорему достатньо довести для n =2, m =1. Загальний результат тоді випливає за допомогою математичної індукції.

При тих же позначеннях, що і вище фактор-кільце $A/{P_1}^{\prime }$ є цілим розширенням фактор-кільця $R/P_1$ і $P_2/P_1$ є простим ідеалом кільця $R/P_1$. Тому існує простий ідеал кільця $A/{P_1}^{\prime }$, що лежить над $R/P_1$. Згідно властивостей фактор-кілець цей ідеал має вигляд ${P_2}^{\prime }/{P_1}^{\prime }$ де ${P_2}^{\prime }$ є простим ідеалом кільця A для якого ${P_1}^{\prime }\subset {P_2}^{\prime }$. Очевидно, що $P_2={P_2}^{\prime }\cap R.$

• Нехай $A\supset R$ — ціле розширення кілець. Тоді $\dim A=\dim R$ і для довільних ідеалів $𝔞\subset A$і $𝔟\subset R$ для яких $𝔞\cap B=𝔟$виконується нерівність $\mathrm{ht}𝔞⩽\mathrm{ht}𝔟.$
• Якщо L — скінченне розширення поля часток кільця R і В — ціле замикання R в L, то існує лише скінченна кількість простих ідеалів $𝔅$ кільця В, що лежать над заданим простим ідеалом кільця R.

Література

• Ю. Дрозд. Вступ до алгебричної геометрії. ВНТЛ–Класика. Львів, 2004.
• Шаблон:Атья.Макдональд.Введение в коммутативную алгебру
• Huneke, Craig; Swanson, Irena (2006), Integral closure of ideals, rings, and modules, London Mathematical Society Lecture Note Series, 336, Cambridge, UK: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-68860-4