Арифметична функція

Арифметична (аритметична) функція — функція, визначена на множині натуральних чисел $\mathbb{N}$, що набуває значень у множині комплексних чисел $ℂ$.

Визначення

Як випливає з визначення, арифметичною функцією називається будь-яка функція

$f:\mathbb{N}\to ℂ$

Назва арифметична функція пов'язана з тим, що в теорії чисел відомо багато функцій $f(n)$ натурального аргументу $n$, які виражають ті або інші арифметичні властивості $n$. Тому, неформально кажучи, під арифметичною функцією розуміють функцію $f(n)$, яка «виражає деяку арифметичну властивість» натурального числа $n$ (див. приклади арифметичних функцій нижче).

Багато арифметичних функцій, що розглядаються в теорії чисел, насправді приймають цілочислові значення.

Операції і зв'язані поняття

• Сумою арифметичної функції $f$ називають функцію $F:[0,+\mathrm{\infty })\to ℂ$, визначену як

$F(x)=\sum _{n\le x}f(n).$

Ця операція є «дискретним аналогом» невизначеного інтеграла; при цьому, хоча початкова функція і була визначена тільки на $\mathbb{N}$, її суму виявляється зручним вважати визначеною на всій додатній півосі (при цьому вона, природно, кусково-стала).

• Згорткою Діріхле двох арифметичних функцій f і g називається арифметична функція h, визначена за правилом

$h(n)=\sum _{d|n}f(d)g(n/d).$

• Арифметичній функції f можна зіставити її генератрису—ряд Діріхле

${\mathrm{\Phi }}_f(s)=\sum _{n}f(n)n^{-s}.$

При цьому згортці Діріхле двох арифметичних функцій відповідає добуток їх генератрис.

• Поточкове множення на логарифм

$f\mapsto f^{\prime },f^{\prime }(n)=f(n)\cdot \ln n,$

є диференціюванням алгебри арифметичних функцій: відносно згортки воно задовольняє правилу Лейбніца

$(f*g{)}^{\prime }=f^{\prime }*g+f*g^{\prime }.$

Перехід до генератриси, перетворює цю операцію на звичайне диференціювання.

Відомі арифметичні функції

Кількість дільників

Арифметична функція $\tau :\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ визначається як число додатнних дільників натурального числа $n$:

$\tau (n)=\sum _{d|n}1$

Якщо $m$ і $n$ взаємно прості, то кожен дільник добутку $mn$ може бути єдиним чином поданий у вигляді добутку дільників $m$ і $n$, і навпаки, кожне такий добуток є дільником $mn$. Звідси випливає, що функція $\tau$ мультиплікативна:

$\tau (mn)=\tau (m)\tau (n)$

Якщо $n=\prod _{i=1}^r{p}_i^{s_i}$ — розклад на прості множники натурального числа $n$, то зважаючи на мультиплікативність

Шаблон:Center Але додатними дільниками числа $p_i^{s_i}$ є $s_i+1$ чисел $1,p_i,\dots ,p_i^{s_i}$.

Відповідно Шаблон:Center

Сума дільників

Функція $\sigma :\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ визначається як сума дільників натурального числа $n$: Шаблон:Center

Узагальнюючи функції $\tau (n)$ і $\sigma (n)$ для довільного, взагалі кажучи комплексного $k$ можна визначити ${\sigma }_k(n)$ — суму $k$-их степенів додатних дільників натурального числа $n$: Шаблон:Center

Використовуючи нотацію Айверсона можна записати Шаблон:Center

Функція ${\sigma }_k$ мультиплікативна: Шаблон:Center

Якщо $n=\prod _{i=1}^r{p}_i^{s_i}$ — розклад на прості дільники натурального числа $n$, то Шаблон:Center

Функція Ейлера

Шаблон:Main Функція Ейлера $\phi (n)$, визначається як кількість додатних цілих чисел, що не є більшими за $n$, і є взаємно простими з $n$.

Користуючись нотацією Айверсона можна записати: Шаблон:Center

Функція Ейлера мультиплікативна: Шаблон:Center

У явному вигляді значення функції Ейлера виражається формулою:

Шаблон:Center де $p_1,p_2,\dots ,p_r$ — різні прості дільники $n$.

Функція Мебіуса

Шаблон:Main Функцію Мебіуса $\mu (n)$ можна визначити як арифметичну функцію, що задовольняє наступній властивості: Шаблон:Center Тобто сума значень функції Мебіуса по всіх дільниках цілого додатного числа $n$ рівна нулю, якщо $n>1$, і рівна $1$, якщо $n=1$.

Можна показати, що цьому рівнянню задовольняє лише одна функція, і її можна явно задати наступною формулою: Шаблон:Center Тут $p_i$ — різні прості числа $p$ — просте число. Інакше кажучи, функція Мебіуса $\mu (n)$ рівна $0$, якщо $n$ не вільно від квадратів (тобто ділиться на квадрат простого числа), і рівна $\pm 1$ інакше (плюс або мінус вибирається залежно від парності числа простих дільників $n$).

Функція Мебіуса є мультиплікативною функцією.

Див. також

• Алгебраїчна функція
• Аналітичні функції
• Раціональні функції
• Трансцендентні функції
• Функція суми квадратів

Література

• Чандрасекхаран К. Арифметические функции, пер. с англ., — М.: «Мир», 1975;
• Шаблон:Чандрасекхаран.Введение в аналитическую теорию чисел