Метод моментів

Метод моментів знаходження оцінок в математичній статистиці — це спосіб побудови оцінок, заснований на порівнянні теоретичних і вибіркових моментів.

Опис

Коротко, метод моментів описується так: «Ми маємо певну вибірку, і припускаємо що вона задається певним розподілом з параметрами. Ми обчислюємо скільки моментів цього розподілу скільки параметрів, і прирівнюємо їх до відповідних моментів вибірки. Так як моменти розподілу є функціями від параметрів, то отримаємо систему рівнянь відносно параметрів, і з неї отримуємо результат.»

Формально: нехай $X_1,\dots ,X_n$ — вибірка з розподілу ${\mathbb{P}}_{\theta }$, що залежить від параметра $\theta \in \mathrm{\Theta }\subset ℝ$. Нехай маємо функцію $g:ℝ\to ℝ$, таку що $g(X_1)$ інтегрована відносно міри ${\mathbb{P}}_{\theta }$, і Шаблон:Питання

${𝔼}_{\theta }[g(X_1)]=f(\theta )$,

де $f:\mathrm{\Theta }\to ℝ$ — бієкція. Тоді оцінка

${\hat{\theta }}_{\mathrm{M}\mathrm{M}}=f^{-1}\left(\overline{g(X)}\right)\equiv f^{-1}(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}g(X_i))$

називається оцінкою параметра $\theta \in \mathrm{\Theta }$ методом моментів.

Зауваження

• Оцінки знайдені методом моментів, як правило спроможні, але часто неефективні. Тому їх можна використовувати лише як перше наближення, базуючись на яких можна знаходити наступні наближення з меншою дисперсією.

• За побудовою, $\overline{g(X)}=f\left({\hat{\theta }}_{\mathrm{M}\mathrm{M}}\right)$, тобто оцінка методом моментів отримується шляхом прирівнювання теоретичного середнього $g(X)$ з вибірковим середнім.

• Як функцію $g$ часто беруть степеневу функцію:

$g(x)=x^k,k\in \mathbb{N}$.

• Оцінка ${\hat{\theta }}_{\mathrm{M}\mathrm{M}}$ суттєво залежить від використаної функції $g(x)$. Якщо можливе використання кількох різних функцій $g(x)$, отримані з їх допомогою оцінки можуть відрізнятися.

Конзистентність методу

Якщо $f\in C(\mathrm{\Theta })$, тобто функція $f$ неперервна, то оцінка методу моментів конзистентна.

Приклад

Нехай $X_1,\dots ,X_n\sim \mathrm{\Gamma }(\alpha ,\beta )$ — вибірка з гамма-розподілу з невідомими параметрами $\alpha$ і $\beta$. Тоді

$𝔼[X_i]=\alpha \beta ,𝔼\left[X_i^2\right]=\alpha (\alpha +1){\beta }^2,i=1,\dots ,n$.

Тоді оцінки методу моментів задовольняють систему рівнянь:

$\{\begin{array}{cc}\overline{X}=& {\hat{\alpha }}_{\mathrm{M}\mathrm{M}}{\hat{\beta }}_{\mathrm{M}\mathrm{M}}\\ \overline{X^2}=& {\hat{\alpha }}_{\mathrm{M}\mathrm{M}}({\hat{\alpha }}_{\mathrm{M}\mathrm{M}}+1){\left({\hat{\beta }}_{\mathrm{M}\mathrm{M}}\right)}^2,\end{array}$

звідки

${\hat{\alpha }}_{\mathrm{M}\mathrm{M}}=\frac{{\left(\overline{X}\right)}^2}{\overline{X^2}-{\left(\overline{X}\right)}^2}$,

і

${\hat{\beta }}_{\mathrm{M}\mathrm{M}}=\frac{\overline{X^2}-{\left(\overline{X}\right)}^2}{\overline{X}}$.

Див. також

• Метод максимальної правдоподібності

Джерела

• Шаблон:Карташов.Імовірність процеси статистика
• Шаблон:Гнеденко.Курс теории вероятностей
• Шаблон:Гіхман.Скороход.Ядренко
• Шаблон:Cite book