Однорідна функція

Однорі́дна фу́нкція (Шаблон:Lang-en) ступеня $q$ — числова функція $f:{ℝ}^n\to ℝ$ така, що для будь-якого $𝐯\in {ℝ}^n$ та $\lambda \in ℝ$ виконується рівність:

$f(\lambda 𝐯)={\lambda }^{q}f(𝐯)(*)$

причому $q$ називають порядком однорідності.

Розрізняють також

• додатно однорідні функції, для яких рівняння $(*)$ виконується тільки для додатних $\lambda$ ($\lambda >0$)
• абсолютно однорідні функції для яких виконується рівняння
      $f(\lambda 𝐯)=|\lambda {|}^{q}f(𝐯)$

Властивості

1. Якщо функція $f$ є многочленом від $n$ змінних, тоді вона буде однорідною функцією степеню $q$ тоді і тільки тоді, коли $f$ — однорідний многочлен степеню $q$, зокрема в цьому випадку $q$ має бути цілим.
2. Однорідна функція в нулі дорівнює нулю, якщо вона там визначена:
       $f(\mathrm{𝟎})=0$
3. Лема Ейлера. Однорідні функції пропорційні скалярному добутку свого градієнта на вектор своїх змінних з коефіцієнтом, що дорівнює порядку однорідності:
       $𝐯\cdot \mathrm{\nabla }f(𝐯)=qf(𝐯).$
   Доводиться диференціюванням рівняння (*) по $\lambda$ при $\lambda =1$.

Теорема Ейлера

Теорема Ейлера про однорідні функції стверджує, що однорідна функція порядку Шаблон:Mvar є розв'язком такого рівняння з частинними похідними:

$kf(x_1,\dots ,x_n)=\sum _{i=1}^n{x}_i\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_1,\dots ,x_n).$

І навпаки, розв'язком такого рівняння є деяка однорідна функція.

Доведення

Позначимо $𝐱=(x_1,\dots ,x_n)$ та $g(s)=f(s𝐱)$.

Щоб довести формулу застосуємо ланцюгове правило диференціювання до $f(s𝐱)=s^{k}f(𝐱)$ по відношенню до $s,$ а потім спрямуємо Шаблон:Mvar до Шаблон:Math.

Щоб довести зворотнє, проінтегруємо диференціальне рівняння:

$s{g}^{\prime }(s)=kf(s𝐱)=kg(s).$

Це лінійне диференціальне рівняння має розв'язок $g(s)=g(1)s^k.$ Тому

$f(s𝐱)=g(s)=s^{k}g(1)=s^{k}f(𝐱)$.

Див. також

• Однорідне рівняння
• Ізотопність
• Неперервна функція

Посилання

• Шаблон:Банах. КФА Лінійні операції
• Шаблон:PlanetMath