Функція Гріна (теорія багаточастинкових систем)

Функція Гріна — математична конструкція, що використовується для опису квантових ситем багатьох частинок, зокрема в квантовій теорії поля та в статистичній фізиці. Назва функції пов'язана із функцією Гріна, що використовується в математиці, оскільки вони задовольняють схожі рівняння із точковим джерелом. Функція Гріна містить повну інформацію про квантову систему.

У теорії багатьох частинок поняття функції Гріна використовується для позначення всіх кореляційних функцій, але найчастіше означає корелятор польових операторів народження і знищення.

Двоточкова функція Гріна визначається як:

$G({𝐫}_1,{𝐫}_2,t_1,t_2)=-i⟨0|𝒯\hat{\psi }({𝐫}_1,t_1){\hat{\psi }}^{†}({𝐫}_2,t_2)|0⟩.$

Тут G — функція Гріна, ${\hat{\psi }}^{†}(𝐫,t)$ — оператори поля в гайзенбергівському зображенні, $|0⟩$ — основний стан квантової системи, $𝒯$ — оператор часового упорядкування. Часове упорядкування означає те, що всі оператори повинні бути розташовані в порядку зменшення часу. При цьому для ферміонів унаслідок комутаційних співвідношень оператор упорядкування вносить також множник (-1)^p, де p — кількість перестановок, необхідна для встановлення правильного порядку часів.

Загалом функція Гріна невідома й задача її відшукання аналогічна розв'язанню рівняння Шредінгера, але формалізм функцій Гріна для багаточастинкових систем закладає зручну основу для теорії збурень і використання техніки діаграм Фейнмана.

Просторово однорідний випадок

Основні означення

Розглядається теорія багатьох частинок з польовим оператором (оператором знищення у координатному представленні) $\psi (𝐱)$.

Від картини Шредінгера можна перейти до картини Гейзенберга:

$\psi (𝐱,t)={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}Kt}\psi (𝐱){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}Kt},$

$\overline{\psi }(𝐱,t)=[\psi (𝐱,t){]}^{†},$

де $K=H-\mu N$ — гамільтоніан системи, що описується великим канонічним ансамблем.

Аналогічно для операторів з уявним часом:

$\psi (𝐱,\tau )={\mathrm{e}}^{K\tau }\psi (𝐱){\mathrm{e}}^{-K\tau },$

$\overline{\psi }(𝐱,\tau )={\mathrm{e}}^{K\tau }{\psi }^{†}(𝐱){\mathrm{e}}^{-K\tau },$

причому легко бачити, що такий уявночасовий оператор народження $\overline{\psi }(𝐱,\tau )$ не є ермітово спряженим до оператора знищення $\psi (𝐱,\tau )$.

У випадку дійсного часу $2n$-точкова функція Гріна означається таким чином:

$G^{(n)}(1\dots n|1^{\prime }\dots n^{\prime })={\mathrm{i}}^n⟨T\psi (1)\dots \psi (n)\overline{\psi }(n^{\prime })\dots \overline{\psi }(1^{\prime })⟩,$

де використана скорочена нотація, в якій під $j$ мається на увазі ${𝐱}_j,t_j$, а $j^{\prime }$ позначає ${{𝐱}_j}^{\prime },{t_j}^{\prime }$. Крім того, оператор $T$ позначає часове впорядкування, тому польові оператори за ним впорядковуються таким чином, що їхні часові аргументи зростають зправа наліво.

Для уявного часу відповідне означення має вигляд:

${𝒢}^{(n)}(1\dots n|1^{\prime }\dots n^{\prime })=⟨T\psi (1)\dots \psi (n)\overline{\psi }(n^{\prime })\dots \overline{\psi }(1^{\prime })⟩,$

де під $j$ мається на увазі ${𝐱}_j,{\tau }_j$. Варто відмітити, що уявночасові змінні ${\tau }_j$ обмежені значеннями від нуля до оберненої температури $\beta =\frac{1}{k_{B}T}$, де $k_B$ — стала Больцмана.

Треба відзначити, що приймається така домовленість щодо знаків та нормування: знак функції Гріна обирається так, аби перетворення Фур'є двоточкової ($n=1$) термальної функції Гріна для вільних частинок мало такий вигляд:

$𝒢(𝐤,{\omega }_n)=\frac{1}{-\mathrm{i}{\omega }_n+{\xi }_{𝐤}},$

а для запізнювальної функції Гріна:

$G^{\mathrm{R}}(𝐤,\omega )=\frac{1}{-(\omega +\mathrm{i}\eta )+{\xi }_{𝐤}},$

де ${\omega }_n=[2n+\theta (-\zeta )]\pi /\beta$ є мацубарівськими частотами. Крім того, $\zeta$ дорівнює $+1$ для бозонів і $-1$ для ферміонів, а $[\dots ,\dots ]=[\dots ,\dots {]}_{-\zeta }$ позначає відповідно комутатор або антикомутатор.

Фур'є-образ функції Гріна

Для просторово однорідних систем, гамільтоніан яких не залежить від часу, функція Гріна залежить від різниці часів та координат:

$G({𝐫}_1,{𝐫}_2,t_1,t_2)=G({𝐫}_1-{𝐫}_2,t_1-t_2)=G(𝐫,t).$

Важливим і зручним для використання є фур'є-образ функції Гріна:

$G(𝐤,\omega )=\int G(𝐫,t)\exp [-i(𝐤\cdot 𝐫-\omega t)]dVdt.$

Застосування в фізиці твердого тіла

Функція Гріна фермі-газу, в якому електрони не взаємодіють між собою, має вигляд:

$G(𝐤,\omega )=\frac{\hslash }{\hslash \omega -E_{𝐤}+i\delta },$

де $E_{𝐤}={\hslash }^2{k}^2/2m$ — енергія електронних станів, m — маса електрона, $\hslash$ — зведена стала Планка, а $\delta$ — нескінченно мала величина, причому $\delta >0$ для $k>k_F$, і $\delta <0$ при $k<k_F$. Тут $k_F$ — значення хвильового вектора на сфері Фермі.

Така поведінка характерна для функції Гріна взагалі. Її полюси на комплексній площині частоти або енергії визначають спектр станів системи. У випадку ідеального фермі-газу полюси розташовані близько до дійсної осі ($\delta$ — нескінченно мала). При розгляді систем частинок, що взаємодіють між собою, полюси функції Гріна лежать на певній віддалі від дійсної осі, а тому містять уявну частину, яка описує затухання збуджень.

Див. також

• Рівняння Калана-Симанзіка

Джерела

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга