Функтор

Шаблон:Вичитати Функтор — відображення однієї категорії в іншу, узгоджене зі структурою категорій. Функтори були вперше введені в алгебраїчній топології, де алгебраїчні структури пов'язуються з топологічними просторами, а їхні гомоморфізми — з неперервними відображеннями. В наш часШаблон:Коли функтори використовуються в багатьох розділах математики для встановлення зв'язків між різними категоріями. Термін «функтор» був взятий математиками з робіт філософа Р. Карнапа.

Визначення

Одномісним коваріантним функтором $ℱ:𝒞\to 𝒟$ з категорії $𝒞$ у категорію $𝒟$, називається пара відображень ${ℱ}_{Ob}:Ob𝒞\to Ob𝒟$ ${ℱ}_{\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}:\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}𝒞\to \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}𝒟$ що позначаються зазвичай однією і тією ж буквою, наприклад F , та задовольняють умовам:

1. $F(i{d}_A)=i{d}_{F(A)}$ для кожного $A\in Ob𝒟$;
2. $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$ для будь-яких морфізмів $f\in {\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{𝒞}(A,B)$ і $g\in {\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{𝒟}(B,C)$.

Функтор з категорії ${𝒞}^{*}$, двоїстої категорії $𝒞$, у категорію $𝒟$ називається одномісним контраваріантним функтором з $𝒞$ у $𝒟$. Таким чином для контраваріантного функтора $ℱ:𝒞\to 𝒟$ як і раніше повинна виконуватися умова 1), а замість умови 2) — умова 2*) $F(g\circ f)=F(f)\circ F(g)$ для будь-яких морфізмів $f\in {\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{𝒞}(A,B)$$g\in {\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{𝒟}(B,C)$.

n-містним функтором з категорій ${𝒞}_1,{𝒞}_2,{𝒞}_3,...,{𝒞}_n$ в категорію $𝒟$, коваріантним за аргументами $1<i_1<i_2<...<i_k<n$ і контраваріантним за рештою аргументів, називається функтор з декартового добутку категорій $\prod _{i=1}^n{\overline{𝒞}}_i$ у категорію $𝒟$, де ${\overline{𝒞}}_i={𝒞}_i$ при $i=i_1,i_2,...,i_k$ і ${\overline{𝒞}}_i={𝒞}_i^{*}$ при інших i. Двомісні функтори, коваріантні за обома аргументами, називаються біфункторами.

Поліноміальний функтор

В алгебрі поліноміальний функтор є ендофунктором у категорії $𝒱$ скінченновимірних векторних просторів, що поліноміально не залежить від векторних просторів.

Нехай $E$ та $F$ - однорідні поліноміальні функтори степенів $m$ та $n$ відповідно. Тоді $E\otimes F:X\mapsto E(X)\otimes F(X)$ - однорідний поліноміальний функтор степеня $m+n,$ який відповідає представленню групи $S_{m+n}.$

Приклади

1. Функтор $ℱ:𝒞\to 𝒟$, що відображає кожен об'єкт категорії $𝒞$ в деякий фіксований об'єкт X категорії $𝒟$, а кожен морфізм категорії $𝒞$ в одиничний морфізм на об'єкті X називавається сталим функтором.
2. Тотожне відображення довільної категорії $𝒞$ в себе є одномісним коваріантним функтором, який називається тотожним функтором категорії і позначається $I{d}_{𝒞}$.
3. Нехай $𝒞$ — довільна категорія $𝒪$ — категорія множин, А — фіксований об'єкт з $𝒞$. Зіставлення кожному $X\in Ob𝒞$ множини ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}^A(X)={\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{𝒞}(A,X)$ і кожному морфізму $F:X\to Y$ відображення ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_f^A:{\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}^A(X)\to {\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}^A(Y)$, де ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_f^A(g)=gf$ для кожного $g\in {\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}^A(X)$, є функтором з $𝒞$ у $𝒪$. Цей функтор називається основним коваріантним функтором з $𝒞$ у $𝒪$ з представляючим об'єктом А. За допомогою двоїстості визначається контраваріантний функтор з $𝒞$ у $𝒪$ з представляючим об'єктом А. Ці функтори позначаються ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}^A$ і ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_A$ відповідно. Якщо $𝒞$ — категорія векторних просторів над полем K, то функтор ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_K$ задає перехід від простору Е до простору лінійних функціоналів Е^*. У категорії топологічних абелевих груп функтор ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_Q$, де Q — факторгрупа групи дійсних чисел по підгрупі цілих чисел, зіставляє кожній групі її групу характерів.

У будь-якій категорії зі скінченними добутками, добуток можна розглядати як n-місний функтор, коваріантний за всіма аргументами, при будь-якому натуральному n. Як правило, конструкції, що визначаються для будь-якого об'єкта категорії або для будь-якої послідовності об'єктів фіксованої довжини незалежно від індивідуальних властивостей об'єктів, є функторами. Такі, наприклад, конструкція вільних алгебр деякого многовиду універсальних алгебр, що однозначно зіставляються кожному об'єктові категорії множин, конструкція фундаментальної групи топологічного простору, конструкції груп гомології і когомології різних розмірностей і т. д.

Будь-який функтор $ℱ:𝒞\to 𝒟$ визначає відображення кожної множини ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{𝒞}(A,B)$ в множину ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{𝒞}(F(A),F(B)$ зіставляючи морфізму $f:A\to B$ морфізм $F(f):F(A)\to F(B)$. функтор F називається унівалентним, якщо всі вказані відображення ін'єктивні, і повним, якщо всі ці відображення сюр'єктивні.

Див. також

• Забутливий функтор
• Конкретна категорія

Література

• Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. — М.: Мир, 1985.
• С. Маклейн Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с — ISBN 5-9221-0400-4.
• И. Букур, А. Деляну Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972.
• Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Основы теории категорий. — М.: Наука, 1974.