Незвідний многочлен

Для довільного поля $𝔽$, многочлен $p(x)$ з коефіцієнтами в $𝔽$ (такі многочлени утворюють кільце $𝔽[x]$) називається незвідним у полі $𝔽$, якщо він не рівний константі і не дорівнює добутку двох або більше многочленів з $𝔽[x]$, що не є константами. Дана властивість залежить від поля $𝔽$; многочлен, що є незвідним в одному полі може розкладатися на добуток в іншому.

Кожен многочлен $p(x)$ у $𝔽[x]$ може бути розкладений в добуток многочленів, що є незвідними в $𝔽$. Цей розклад на множники є однозначно визначеним з точністю до перестановки множників і множення многочленів у розкладі на константи з поля $𝔽$.

Прості приклади

Наступні п'ять многочленів демонструють деякі елементарні властивості незвідних многочленів:

$p_1(x)=x^2+4x+4=(x+2)(x+2)$,

$p_2(x)=x^2-4=(x-2)(x+2)$,

$p_3(x)=x^2-4/9=(x-2/3)(x+2/3)$,

$p_4(x)=x^2-2=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$,

$p_5(x)=x^2+1=(x-i)(x+i)$.

Над кільцем $\mathbb{Z}$ цілих чисел, перші два многочлени є звідними, останні два є незвідними. (Третій, звичайно, не є многочленом над цілими числами.)

Над полем $\mathbb{Q}$ раціональних чисел, перші три многочлени є звідними, двоє інших — незвідні.

Над полем $ℝ$ дійсних чисел, перші чотири многочлени — звідні, але $p_5(x)$ є незвідним.

Над полем $ℂ$ комплексних чисел, всі п'ять многочленів звідні. Фактично, кожен відмінний від константи многочлен $p(x)$ над $ℂ$ може бути розкладений на множники виду:

$p(x)=a(x-z_1)\cdots (x-z_n)$

де $n$ — степінь многочлена, $a$ — старший коефіцієнт, $z_1,\dots ,z_n$ — корені $p(x)$. Тому єдиними незвідними многочленами над $ℂ$ є лінійні многочлени (основна теорема алгебри).

Дійсні і комплексні числа

Як показано вище, тільки лінійні многочлени є незвідними в полі комплексних чисел. В полі дійсних чисел незвідними є лінійні многочлени і квадратичні многочлени без дійсних коренів . Наприклад розклад многочлена $x^4+1$ в полі дійсних чисел має вигляд $(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1).$ Обидва множники в даному розкладі є незвідними многочленами.

Скінченні поля

Многочлени з цілочисельними коефіцієнтами, які є незвідними над полем $\mathbb{Q}$ можуть бути звідними над скінченним полем. Наприклад, многочлен $x^2+1$ є незвідним над $\mathbb{Q}$ але над полем ${𝔽}_2$ з двох елементів може бути звідним. Наприклад у ${𝔽}_2$, ми маємо:

$(x^2+1)=(x+1{)}^2$

Незвідність многочлена над цілими числами $\mathbb{Z}$ пов'язана з незвідністю у полі ${𝔽}_p$ з $p$ елементів (для простого числа $p$). А саме, якщо многочлен $p(x)$ над $\mathbb{Z}$ з старшим коефіцієнтом $1$ є звідним у $\mathbb{Z}$ тоді він є звідним у ${𝔽}_p$ для будь-якого простого числа $p$. Зворотне твердження невірне.

Див. також

• Незвідний елемент
• Критерій Ейзенштейна
• Критерій Кона
• Основна теорема алгебри

Література

• Шаблон:Ван.дер.Варден.Алгебра
• Шаблон:Ленг.Алгебра

Посилання

• Шаблон:PlanetMath