Критерій Кона

Критерій Кона — ознака незвідності многочлена в кільці многочленів $\mathbb{Z}[x]$.

Ознаку можна сформулювати так:

Якщо просте число $p$ в десятковій системі числення записується як $p=a_{m}10^m+a_{m-1}10^{m-1}+\dots +a_{1}10+a_0$ (де $0\le a_i\le 9$) тоді многочлен

$f(x)=a_m{x}^m+a_{m-1}{x}^{m-1}+\dots +a_{1}x+a_0$

є незвідним в $\mathbb{Z}[x]$.

Теорему можна узагальнити для довільної системи числення:

Нехай $b\ge 2$ натуральне число $p(x)=a_k{x}^k+a_{k-1}{x}^{k-1}+\dots +a_{1}x+a_0$ — многочлен з коефіцієнтами $0\le a_i\le b-1$. Якщо $p(b)$ — просте число тоді $p(x)$ є незвідним в $\mathbb{Z}[x]$.

Версія твердження для десяткової системи вперше згадується в книзі , узагальнення для довільної системи числення довели Бріліант, Філасета і Одлижко .

Вимога, що коефіцієнти многочленів мають задовольняти нерівності $0\le a_i\le b-1$ є важливою. Наприклад для десяткової системи числення маємо:

$10^3-9\cdot 10^2-9\cdot 10+1=11$ є простим але:

$x^3-9x^2-9x+1=(x+1)(x^2-10x+1)$

Див. також

• Критерій Ейзенштейна

Посилання

Шаблон:Cite journal (dvi file)