Полюс (комплексний аналіз)

Графік показує абсолютну величину гамма-функції. Видно, що функція стає нескінченою в полюсах ліворуч. Праворуч гамма-функція не має полюсів, вона просто швидко зростає

Ізольована особлива точка $z_0$ називається полюсом функції $f(z)$, якщо в розкладанні цієї функції в ряд Лорана в проколотому околі точки $z_0$ головна частина містить скінчене число відмінних від нуля членів, тобто

$f(z)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{f}_k(z-z_0{)}^k=P(z)+f_{-n}(z-z_0{)}^{-n}+\dots +f_{-1}(z-z_0{)}^{-1}$, де $P(z)$ - правильна частина ряду Лорана.

Якщо $f_{-n}\ne 0$, то $z_0$ називається полюсом порядку $n$. Якщо $n=1$, то полюс називається простим.

Критерії визначення полюса

1. Точка $z_0$ є полюсом тоді, і тільки тоді, коли $\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)=\mathrm{\infty }$.
2. Точка $z_0$ є полюсом порядку $k$ тоді і тільки тоді, коли $\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)(z-z_0{)}^{k-1}=\mathrm{\infty }$, а $\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)(z-z_0{)}^k\ne \mathrm{\infty }$.
3. Точка $z_0$ є полюсом порядку $k$ тоді і тільки тоді, коли вона є для функції $F(z)=\frac{1}{f(z)}$ нулем порядку $k$.

Див. також

• Нуль (комплексний аналіз)