Однорідний многочлен

У математиці однорідний поліном (який іноді називають “quantic“ у старих текстах) — це поліном, в якого усі ненульові члени мають однаковий степінь. Наприклад, $x^5+2x^3{y}^2+9x{y}^4$ — однорідний поліном $5$-го степеня з двома змінними; сума показників у кожному доданку завжди дорівнює $5$. Поліном $x^3+3x^{2}y+z^7$ не є однорідним, оскільки сума показників не збігається від члена до члена. Функція, визначена однорідним поліномом, завжди є однорідною функцією.

Алгебраїчна форма або просто форма — це функція, визначена однорідним поліномом. Бінарна форма — це форма з двома змінними. Форма — це також функція, визначена у векторному просторі, яку можна представити як однорідну функцію координат для довільного базису.

Поліном степеня $0$ завжди однорідний; це просто елемент поля або кільця коефіцієнтів, зазвичай його називають константою або скаляром. Форма степеня $1$ є лінійною формою. Форма степеня $2$ є квадратичною формою. У геометрії евклідова відстань — це квадратний корінь з квадратичної форми.

Однорідні поліноми є широко поширеними в математиці та фізиці. Вони відіграють фундаментальну роль в алгебричній геометрії, оскільки Шаблон:Нп визначається як множина спільних нулів множини однорідних поліномів.

Властивості

Однорідний поліном визначає однорідну функцію.Це означає, що якщо багатовимірний поліном $P$ є однорідним степеня $d$, то

$\begin{array}{c}P(\lambda x_1,\dots ,\lambda x_n)={\lambda }^{d}P(x_1,\dots ,x_n),\end{array}$

виконується для будь-якого $\lambda$ і для будь-якого поля, що містить коефіцієнти полінома $P$. І навпаки, якщо вищезгадане співвідношення справедливе для нескінченної кількості $\lambda$, то поліном є однорідним степеня $d$. Зокрема, якщо поліном $P$ однорідний, то

$\begin{array}{c}P(x_1,\dots ,x_n)=0\Rightarrow P(\lambda x_1,\dots ,\lambda x_n)=0\end{array}$

для будь-якого $\lambda$. Ця властивість є фундаментальною при визначенні Шаблон:Нп.

Будь-який ненульовий поліном можна єдиним чином розкласти як суму однорідних поліномів з різними степенями, які називаються однорідними компонентами полінома.

Для заданого кільця поліномів $R=K[x_1,\dots ,x_n]$ над полем (або, у загальному випадку, кільцем) $K$ однорідні поліноми степеня $d$ утворюють векторний простір (або модуль), який зазвичай позначається як $R_d$. Наведене вище однозначне розкладання означає, що $R$ є прямою сумою модулів $R_d$ (сума за всіма невід'ємними цілими числами).

Розмірність векторного простору (або вільного модуля) $R_d$ — це кількість різних одночленів степеня $d$ з $n$ змінними (тобто максимальна кількість ненульових членів в однорідному поліномі степеня $d$ від $n$ змінних). Вона дорівнює біноміальному коефіцієнту

$\begin{array}{c}(\genfrac{}{}{0ex}{}{d+n-1}{n-1})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{d+n-1}{d})=\frac{(d+n-1)!}{d!(n-1)!}.\end{array}$

Однорідний поліном задовольняє тотожність Ейлера для однорідних функцій. Тобто, якщо $P$ є однорідним поліномом степеня $d$ від невідомих $x_1,\dots ,x_n$, то маємо (залежно від того, що є комутативним кільцем коефіцієнтів)

$\begin{array}{c}\mathrm{d}P=\sum _{i=1}^n{x}_i\frac{\partial P}{\partial x_i},\end{array}$

де $\frac{\partial P}{\partial x_i}$ означає формальну частинну похідну від $P$ відносно $x_i$.

Гомогенізація

Неоднорідний поліном $P(x_1,\dots ,x_n)$ можна гомогенізувати, ввівши додаткову змінну $x_0$ і визначивши однорідний поліном, який іноді позначають як $h^{}P$:

$\begin{array}{c}{}^{h}P(x_0,x_1,\dots ,x_n)=x_0^{d}P(\frac{x_1}{x_0},\dots ,\frac{x_n}{x_0}),\end{array}$

де $d$ степінь полінома $P$. Наприклад, якщо

$P=x_3^3+x_1{x}_2+7,$

то

$h^{}P=x_3^3+x_0{x}_1{x}_2+7x_0^3.$

Гомогенізований поліном можна дегомогенізувати, ввівши додаткову змінну $x_0=1$. Тобто

$P(x_1,\dots ,x_n)={}^{h}P(1,x_1,\dots ,x_n).$

Див. також

• Шаблон:Нп
• Шаблон:Нп
• Шаблон:Нп
• Градуйована алгебра
• Многочлен Гільберта
• Шаблон:Нп
• Мультилінійна функція
• Шаблон:Нп
• Поліном Шура
• Шаблон:Нп

Література

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр

Зовнішні посилання

• Шаблон:MathWorld