Результант

У математиці, результантом двох многочленів $P$ і $Q$ над деяким полем $𝕂$, зі старшими коефіцієнтами рівними одиниці, називається вираз

$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(P,Q)=\prod _{(x,y):P(x)=0,Q(y)=0}(x-y),$

іншими словами, результант дорівнює добутку попарних різниць між їхніми коренями. Добуток береться за всіма коренями в алгебричному замиканні поля $𝕂$ з урахуванням їх кратностей; оскільки вираз, що виходить, є симетричним многочленом від коренів многочленів $P$ і $Q$ (які, можливо не належать полю $𝕂$), його можна записати як многочлен від коефіцієнтів $P$ і $Q$. Для многочленів, старші коефіцієнти яких ($p$ і $q$ відповідно) не обов'язково рівні 1, наведений вище вираз домножується на

$p^{degQ}{q}^{degP}.$

Властивості і способи обчислення

• Основна властивість результанта (і його основне застосування): результант — многочлен від коефіцієнтів $P$ і $Q$, рівний нулю в тому і лише в тому випадку, коли многочлени $P$ і $Q$ мають спільний корінь (можливо, в деякому розширенні поля $𝕂$).
• Результант дорівнює визначнику матриці Сильвестра.
• Дискримінант многочлена p можна визначити через результант p і його похідну p'.

$D(p)=(-1{)}^{\frac{1}{2}n(n-1)}\frac{1}{p_n}res(p,p^{\prime }),$ де p_n — старший коефіцієнт многочлена p.

Для доведення спершу розглянемо випадок p_n=1. Тоді маємо $g(x)=\prod (x-{\alpha }_i)$ і при $x={\alpha }_j$ виконується рівність:

$g^{\text{'}}(x)=\prod _{i\ne j}({\alpha }_j-{\alpha }_i)$

Звідси одержуємо:

$res(p,p^{\prime })=\prod _j(p^{\text{'}}({\alpha }_j))=\prod _{i\ne j}({\alpha }_j-{\alpha }_i)=(-1{)}^{\frac{1}{2}n(n-1)}D(p)$

Звідси й одержується частковий випадок рівняння. Загальний випадок одержується якщо врахувати, що при домноженні многочлена p на константу p_n результант res(p, p') домножується на p^2n-1, а дискримінант D(p) домножується на p^2n-2

• Результант рівний добутку значень одного з многочленів за коренями іншого (як і раніше, добуток береться з урахуванням кратності коренів):

$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(P,Q)=\prod _{P(x)=0}Q(x).$

• $\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(P,Q)=(-1{)}^{\mathrm{deg}P\cdot \mathrm{deg}Q}\cdot \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(Q,P)$
• $\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(P\cdot R,Q)=\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(P,Q)\cdot \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(R,Q)$
• Якщо $P^{\prime }=P+R\cdot Q$ і $\mathrm{deg}{P}^{\prime }=\mathrm{deg}P$, тоді $\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(P,Q)=\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(P^{\prime },Q)$
• Якщо $X,Y,P,Q$ є многочленами однакових степенів і $X=a_{00}\cdot P+a_{01}\cdot Q,Y=a_{10}\cdot P+a_{11}\cdot Q$,

тоді   $\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(X,Y)=\det {\left(\begin{array}{cc}{a}_{00}& a_{01}\\ a_{10}& a_{11}\end{array}\right)}^{\mathrm{deg}P}\cdot \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(P,Q)$

• $\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(P_{-},Q)=\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(Q_{-},P)$  де  $P_{-}(z)=P(-z)$

Посилання

• Шаблон:MathWorld