Евклідове кільце

Шаблон:Алгебричні структури В абстрактній алгебрі евклідове кільце — кільце, в якому існує аналог алгоритму Евкліда.

Визначення

Евклідове кільце — область цілісності $R$ , для якої визначена евклідова функція (евклідова норма) $d : R \to ℕ \cup {- \infty}$ , причому $d (a) = - \infty \Leftrightarrow a = 0$ , і можливе ділення з остачею, по нормі меншою ніж дільник, тобто для будь-яких $a, b \in R, b \neq 0$ є представлення $a = b q + r$ , для якого $d (r) < d (b)$ .

Примітка

Часто на евклідову норму накладають додаткове обмеження: $d (a) \leq d (a b)$ для будь-яких $a$ та ненульових $b$ з кільця $R$ . Якщо на $R$ задана норма, що не задовольняє цій вимозі, її можна поправити, перевизначивши:

d^{'} (a) = \min {d (a x) : x \in R, x \neq 0}

Така норма задовольняє потрібну нерівність, однак дотеперішній алгоритм ділення з остачею також треба поправити. Нехай $x \in R$ такий, що $d^{'} (b) = d (b x)$ . Розділимо з остачею ax на bx: $a x = b x q^{'} + r^{'} x$ , де $r^{'} = a - b q^{'}$ і $d (r^{'} x) < d (b x) = d^{'} (b)$ . Тому що з визначення $d^{'} (r^{'}) \leq d (r^{'} x)$ , ми отримали представлення $a = b q^{'} + r^{'}$ з $d^{'} (r^{'}) < d^{'} (b)$ , що і вимагалось.

Тим не менш переваг від такої норми не так багато — всі оборотні елементи мають одне й те саме значення норми, при чому мінімальне з усіх (скінченних), власні дільники (що відрізняються від самого числа) елемента a мають менше значення норми, а також спрощується безпосереднє доведення факторіальності евклідових кілець (без посилання на факторіальність кілець головних ідеалів, доведення чого вимагає застосування трансфінітної індукції). Основні властивості евклідових кілець залишаються в силі і без цієї додаткової властивості.

Приклади

Кільце цілих чисел $ℤ$ . Приклад евклідової функції — абсолютна величина $| \cdot |$ .
Кільце цілих гаусових чисел $ℤ [i]$ (де i — уявна одиниця, $i^{2} = - 1$ ) з нормою $d (a + i b) = a^{2} + b^{2}$ — евклідове.
Довільне поле $K$ є евклідовим кільцем з нормою, що дорівнює $1$ для всіх елементів, окрім $0$ .
Кільце многочленів від однієї змінної $K [x]$ над полем $K$ . Приклад евклідової функції — піднесення до степеня, $d e g (\cdot)$ .
Кільце формальних степеневих рядів $K [[x]]$ над полем $K$ є евклідовим кільцем. Норма степеневого ряду — номер першого ненульового коефіцієнта в ньому (для нульового ряду норма дорівнює мінус нескінченності).
Узагальнюючи попередній приклад, кожне локальне кільце є евклідовим, якщо в ньому максимальний ідеал є головним і перетин всіх його степенів складається тільки з нуля. Норма оборотного елемента — $0$ , необоротного ненульового дорівнює максимальної степені максимального ідеалу, що містить даний елемент, а норма нуля — мінус безкінечність.
Кільце функцій H(K), голоморфних на зв'язному компакті K в C (кожна з яких має бути голоморфною в будь-якому околі цього компакту; дві такі функції вважаються рівними в H(K), якщо вони рівні в деякому околі K), також евклідове. За норму ненульової функції приймається число нулів (з урахуванням кратності), які вона приймає на K.
Зліченний перетин евклідових кілець (підкілець в якому-небудь кільці) не зобов'язаний бути евклідовим кільцем і навіть нетеровим або факторіальним). Наприклад, кільце функцій H(D), голоморфних у відкритому колі D, є перетин евклідових кілець функцій H(K), голоморфних на замкнутих колах K, що містяться всередині D (див. попередній приклад), однак воно ані нетерове, ані факторіальне, відповідно, неевклідове.
Кільце часток $S^{- 1} R$ евклідового кільця $R$ по мультиплікативній системі $S$ також є евклідовим. Нормою дробу $x$ з $S^{- 1} R$ приймається

d_{S} (x) = \min {d_{R} (u) : (u, s) \in R \times S, x = u / s}

, де

d_{R}

— евклідова норма в $R$ , а

d_{S}

— норма в $S^{- 1} R$ .

Ділення з остачею визначається так. Нехай є два ненульових дроби

x = r / t

і

y

з $S^{- 1} R$ . За визначенням норми в $S^{- 1} R$ існують елементи $u$ в $R$ і $s$ в S, такі що

y = u / s

і

d_{S} (y) = d_{R} (u)

. Вчинимо ділення з остачею в кільці $R$ елементів $r s$ і $u$ :
rs = uq + r', так що

d_{R} (r^{'}) < d_{R} (u)

. Тоді

r / t = (u / s) (q / t) + r^{'} / t s

. З побудови випливають нерівності

d_{S} (r^{'} / t s) \leq d_{R} (r^{'}) < d_{R} (u) = d_{S} (y)

.

Евклідовим є кільце скінченних десяткових дробів, через те, що вони є кільцем часток кільця цілих чисел $ℤ$ .
Евклідовими є кільця раціональних функцій над полем $ℂ$ з фіксованими полюсами, через те, що такі кільця є кільцями часток кільця многочленів $ℂ [x]$ .

Алгоритм Евкліда

В евклідовому кільці здійсненний алгоритм Евкліда знаходження найбільшого спільного дільника двох чисел (елементів). Нехай початково дані два елементи $a_{0}$ і $a_{1}$ , при чому $d (a_{1}) \leq d (a_{0})$ і $a_{1} \neq 0$ . Ділення з остачею дає елемент $a_{2} = a_{0} - a_{1} q_{1}$ с $d (a_{2}) < d (a_{1})$ . Якщо він не рівний нулю, можна знов застосувати ділення з остачею, і отримати елемент $a_{3} = a_{1} - a_{2} q_{2}$ , і т. д. Таким чином генерується ланцюжок значень $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \dots$ з $d (a_{0}) > d (a_{1}) > d (a_{2}) > \dots$ . Однак цей ланцюжок переривається, позаяк кожне число з $N \cup {- \infty}$ може строго перевищувати тільки скінченну кількість інших таких чисел. Це означає, що при деякому $n$ остача $a_{n + 1}$ дорівнює нулю, а $a_{n}$ не дорівнює, вона і є НСД елементів $a_{0}$ і $a_{1}$ . Відповідно, в евклідовому кільці гарантовано завершення алгоритму Евкліда. Строго кажучи, саме в евклідових кільцях і можлива реалізація алгоритму Евкліда.

Властивості евклідових кілець

В евклідовому кільці кожний ідеал — головний (зокрема, всі евклідові кільця нетерові).
- Нехай $I$ — довільний ідеал в евклідовому кільці. Якщо він містить лише нуль, — він головний. В протилежному випадку серед його ненульових елементів знайдеться елемент $f$ з мінімальною нормою (принцип мінімуму для натуральних чисел). Він поділяє всі інші елементи ідеалу: Якщо $g$ — довільний елемент ідеалу $I$ , запишемо його у вигляді $g = f g + r$ з $d (r) < d (f)$ . Тоді $r$ — також елемент ідеалу $I$ і він забов'язаний бути нулем, через те, що його норма менша ніж у $f$ . Відповідно, ідеал I міститься в ідеалі $(f)$ . З іншого боку, кожен ідеал, що містить елемент $f$ , містить ідеал $(f)$ . Отже, $I = (f)$ — головний ідеал.
Кожне евклідове кільце факторіальне, тобто кожний елемент можна представити скінченним добутком простих елементів, і при цьому однозначно (з точністю до їх перестановки і множення на оборотні елементи). Факторіальність — загальна властивість усіх кілець головних ідеалів.
Кожне евклідове кільце $R$ цілозамкнене, тобто якщо дріб $a / b, a, b \in R$ , є коренем многочлена $f \in R [x]$ зі старшим коефіцієнтом, що дорівнює $1$ , тоді $a$ ділиться на $b$ . Цілозамкненість — загальна властивість всіх факторіальних кілець.

Властивості модулів над евклідовим кільцем

Нехай $R$ — евклідове кільце. Тоді скінченнопорджені $R$ -модулі характеризуються такими властивостями:

Кожен підмодуль $N$ скінченнопородженого $R$ -модуля $M$ скінченнопороджений. (наслідок нетеровості кільця $R$ )
Ранг підмодуля $N$ не перевищує рангу модуля $M$ . (наслідок того, що ідеали в $R$ головні)
Підмодуль вільного $R$ -модуля вільний.
Гомоморфізм $A : N \to M$ скінченнопороджених $R$ -модулів завжди зводиться до нормальної форми. Тобто існують твірні (базис, якщо модуль вільний) $u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n}$ модуля $N$ , твірні (базис) $v_{1}, v_{2}, \dots, v_{m}$ модуля $M$ , номер $k \leq \min {m, n}$ і $a_{1}, \dots, a_{k}$ — елементи кільця $R$ , такі що $a_{i}$ ділить $a_{i + 1}$ та при $i > k$ $A u_{i} = 0$ , а при інших — $A u_{i} = a_{i} v_{i}$ . При цьому коефіцієнти $a_{1}, \dots, a_{k}$ визначені однозначно з точністю до множення но оборотні елементи кільця $R$ . (Тут прямо задіяна евклідовість кільця $R$ .)

Див. також

Джерела

Українською

Іншими мовами

Шаблон:MathWorld
Шаблон:Ван.дер.Варден.Алгебра
J. von zur Gathen, J. Gerhard, «Modern Computer Algebra», ISBN 0-521-82646-2

Евклідове кільце

Зміст

Визначення

Примітка

Приклади

Алгоритм Евкліда

Властивості евклідових кілець

Властивості модулів над евклідовим кільцем

Див. також

Джерела

Українською

Іншими мовами

Навігаційне меню

Евклідове кільце

Визначення

Примітка

Приклади

Алгоритм Евкліда

Властивості евклідових кілець

Властивості модулів над евклідовим кільцем

Див. також

Джерела

Українською

Іншими мовами

Навігаційне меню

Пошук