Теорія множин Цермело

Теорія множин Цермело — теорія множин, що включає в себе 7 аксіом, опублікована німецьким математиком Ернстом Цермело у 1908 році. Система аксіом Цермело (Z) для теорії множин була створена тому, що в інтуїтивній теорії множин Георга Кантора були виявлені парадокси і аксіоматичний метод виявилася єдиним виходом із становища.

Пізніше Абрахам Френкель і Туралф Скулем розширили її до 10 аксіом (Теорія множин Цермело — Френкеля ZF).

Аксіоми Теорії множин Z

AXIOM I. Аксіома об'ємності (екстенсіональності). Дві множини збігаються (рівні між собою) тоді й лише тоді, коли вони мають одні й ті самі елементи:

Шаблон:Center Замість поданого твердження інколи записують, що елементи вважають однаковими, якщо вони належать до одних і тих самих множин. Інакше кажучи, їх неможливо розрізнити за допомогою належності до множин: Шаблон:Center

AXIOM II. Аксіома пари: Із двох довільних [однакових чи різних] множин можна утворити [щонайменше одну] невпорядковану пару, тобто таку множину $c$, кожний елемент якої $b$ ідентичний даній множині $a_1$ або даній множині $a_2$:

AXIOM III. Аксіомна схема виділення. Для довільної множини $x$ і властивості (предиката, висловлювання системи $Z$) $P$ існує множина $y$, елементами якої є ті й лише ті елементи множини $y$, які мають властивість $P$ (при яких справджується Р):

Шаблон:Center Тут $y$ не входить у запис $P$.

AXIOM IV. Аксіома булеана. Для довільної множини $x$ існує множина $y$, елементами якої є ті й лише ті елементи, що є підмножинами $x$.

Шаблон:Center З використанням відношення підмножини $\subseteq$ останню формулу можна спростити: Шаблон:Center Таку множину $y$ називають булеаном множини $x$ та позначають $P(x)$ або $2^x$.

Для скінченних множин справджується рівність $|2^x|=2^{|x|}$. Тут $|x|$ — кількість елементів множини $x$.

AXIOM V. Аксіома об'єднання. З будь-якого сімейства $a$ множин $b$ можна утворити як мінімум одну таку множину $d$, кожен елемент $c$ якої належить хоча б одній множині $b$ даного сімейства $a$ :

AXIOM VI. Аксіома вибору. Для довільної множини $z$ існує функція $w$, що вибирає з кожного непорожнього елемента $x$ множини $z$ єдиний елемент $w*x$:

AXIOM VII. Аксіома нескінченності. Існує така множина $x$, що містить порожню множину $\varnothing$ та для довільного належного до неї елемента y включає також і множину, утворену об’єднанням $y$ та $y$:

Шаблон:Center За допомогою раніше означеного предикату $Inf$ цю аксіому можна записати так: Шаблон:Center

Теорія множин ZF

Шаблон:Main Абрахам Френкель і Туралф Скулем незалежно довели у 1922, що в теорії множин Z неможливо довести існування {Z₀, Z₁, Z₂, ...}, де Z₀ — натуральні числа, а Z_n+1 — булеан Z_n. Френкель запропонував доповнити Z новою аксіомою підстановки, а також акіомою регулярності.

Отриману систему називають системою аксіом Цермело — Френкеля і позначають ZF. Ця система аксіом містить єдине примітивне онтологічне (фундаментальне) поняття — множина, та єдине онтологічне припущення, що всі досліджувані об'єкти є множинами. Запроваджено єдине бінарне відношення приналежності до множини.

Див. також

• Аксіоматика теорії множин
• Z-нотація
• Теорема Цермело

Джерела

• Шаблон:Хаусдорф.Теория множеств
• Шаблон:Куратовский.Мостовский.Теория множеств

Посилання

• Шаблон:URL