Аксіома булеана

Аксіома існування булеана (аксіома множини підмножин) формулюється так: «з будь-якої множини можна утворити булеан, тобто таку множину $d$, яка складається з усіх власних і невласних підмножин $b$ даної множини $a$». Згідно з теорією множин математично ця аксіома записується так:

$\mathrm{\forall }a\mathrm{\exists }d\mathrm{\forall }b(b\in d⟺\mathrm{\forall }c(c\in b\Rightarrow c\in a))$

В аксіомі булеана вказаний тип множин (підмножини множини $a$), які повинні бути елементами утвореної множини $d$. Разом з тим, аксіома булеана не містить алгоритму знаходження всіх елементів утвореної множини $d$.

Аксіому булеана можна вивести з наступних висловлювань:

• $\mathrm{\exists }d\mathrm{\forall }b(b\subseteq a\Rightarrow b\in d)$

• $\mathrm{\forall }d\mathrm{\exists }c\mathrm{\forall }b(b\in c⟺b\in d\wedge b\subseteq a)$

Перше з цих висловлювань - один з наслідків аксіоми булеана, а друге - одна з конкретизацій схеми виділень.

Керуючись аксіомою об'ємності, можна довести єдиність булеана для кожної множини $a$. Інакше кажучи, можна довести, що аксіома булеана рівносильна висловлюванню:

$\mathrm{\forall }a\mathrm{\exists }!d\mathrm{\forall }b(b\in d⟺b\subseteq a)$, що є $\mathrm{\forall }a\mathrm{\exists }d(d=\{b:b\subseteq a\}\wedge \mathrm{\forall }{d}^{\prime }(d^{\prime }\ne d\to d^{\prime }\ne \{b:b\subseteq a\}))$.

Альтернативні формулювання аксіоми

$\mathrm{\forall }a\mathrm{\exists }d\mathrm{\forall }b(b\in d⟺b\subseteq a)$, де $b\subseteq a⟺\mathrm{\forall }c(c\in b\Rightarrow c\in a)$

$\mathrm{\forall }a\mathrm{\exists }d(d=\{b:b\subseteq a\})$

$\mathrm{\forall }a\mathrm{\exists }d\mathrm{\forall }b(b\notin d⟺\mathrm{\exists }c(c\in b\wedge c\notin a))$

Див. також

• Аксіоматика теорії множин
• Булеан

Джерела

• Шаблон:Куратовский.Мостовский.Теория множеств