Аксіома нескінченності

Шаблон:UniboxАксіомою нескінченності (Шаблон:Lang-en) називається наступне висловлювання теорії множин:

\exists a (\emptyset \in a \land \forall b (b \in a \to b \cup {b} \in a))

, де

b \cup {b} = {c : c \in b \lor c = b}

Аксіома нескінченності проголошує існування (принаймні однієї) нескінченної множини, тобто множини, яка складається з $\emptyset, {\emptyset}, {\emptyset, {\emptyset}}, {\emptyset, {\emptyset}, {\emptyset, {\emptyset}}}, . . .$

Для того, щоби пояснити цю аксіому, визначимо елемент B ∪ {B} як наступний елемент B (аксіома пари дозволяє нам сформувати синглетон {B}, а аксіома об'єднання дозволяє провести операцію ∪). Наступний елемент використовується, зокрема, для побудови теорії натуральних чисел за допомогою множин. В такій побудові нулю відповідає порожня множина (0 = {}), одиниця — наступний елемент за 0:

1 = 0 ∪ {0} = {} ∪ {{}} = {{}} = {0}.

Аналогічно, 2 — наступний елемент за 1.

2 = 1 ∪ {1} = {0} ∪ {1} = {{},{{}}} = {0,1}, і т.д.

Тобто, існує така множина a, що включає в себе пусту множину {} та для будь-якого належного їй елемента b включає також і множину, сформовану як об'єднання b та її синґлетону {b}.

В такій побудові кожне натуральне число дорівнює множині всіх попередніх натуральних чисел. Без цієї аксіоми така побудова була б неможливою.

Інші формулювання аксіоми нескінченності

$\exists a_{\infty} (\exists a_{\emptyset} (a_{\emptyset} \in a_{\infty} \land \forall b (b \notin a_{\emptyset})) \land \forall b \exists c \forall d (b \in a_{\infty} \to (c \in a_{\infty} \land (d \in c \leftrightarrow d \in b \lor d = b))))$

$\exists a_{\infty} (\exists a_{\emptyset} (a_{\emptyset} \in a_{\infty} \land \forall b (b \notin a_{\emptyset})) \land \forall b \forall c \exists d (b \in a_{\infty} \to ((d \in c \leftrightarrow d \in b \lor d = b) \to c \in a_{\infty})))$

Див. також

Джерела

Шаблон:Теорія множин

Аксіома нескінченності

Інші формулювання аксіоми нескінченності

Див. також

Джерела

Навігаційне меню

Пошук