Теорема Цермело
Теорема Цермело — теорема теорії множин, яка стверджує, що на будь-якій множині можна ввести таке відношення порядку, що множина буде цілком упорядкованою.
Одна з найважливіших теорем у теорії множин. Названа на честь німецького математика Ернста Цермело. Теорема Цермело еквівалентна аксіомі вибору, а отже, і лемі Цорна.
Історія
Георг Кантор вважав, що твердження цієї теореми є «фундаментальним принципом думки».[1] Дійсно, будь-яку зліченну множину можна тривіально цілком упорядкувати, наприклад, перенісши порядок із множини натуральних чисел. Однак більшості математиків складно уявити повний порядок вже, наприклад, множини дійсних чисел. 1904 року Шаблон:Не перекладено повідомив, що довів, що такого впорядкування не може існувати. Через кілька тижнів Фелікс Гаусдорф виявив помилку в доведенні.[2] Однак незабаром Ернст Цермело опублікував свою найвідомішу роботу,[3] в якій довів, що будь-яку множину можна цілком упорядкувати. Його доведення спиралося на вперше сформульовану в цій самій роботі аксіому вибору. Викликана цим фактом дискусія спонукала Цермело згодом упритул зайнятися аксіоматизацією теорії множин, що привело до створення аксіоматики Цермело — Френкеля.
Доведення
Доведення див. у статті Твердження, еквівалентні аксіомі вибору.
Див. також
Примітки
Література
- ↑ Georg Cantor (1883), «Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten», Mathematische Annalen 21, стр. 545—591.
- ↑ Шаблон:Citation
- ↑ Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann. Шаблон:Webarchive Mathematische Annalen, 1904.