Ознака Абеля

Шаблон:Числення У математиці ознака Абеля (також відома як критерій Абеля) є методом тестування збіжності нескінченного ряду. Ознака названа на честь математика Нільса Генріка Абеля. Існує дві трохи різні версії ознаки Абеля — одна використовується для рядів дійсних чисел, а інша — для степеневих рядів у комплексному аналізі. Ознака рівномірної збіжності Абеля є критерієм рівномірної збіжності ряду функцій, що залежать від параметрів.

Ознака Абеля збіжності числових рядів

Нехай виконуються такі умови:

1. $\sum b_n$ — збіжний ряд,
2. $\{a_n\}$ — монотонна послідовність,
3. $\{a_n\}$ — обмежена, тобто $|a_n|⩽K,$ для деякого $K>0$ і всіх натуральних $n.$

Тоді ряд $\sum a_n{b}_n$ також є збіжним.

Важливо розуміти, що ця ознака є доречною і корисною у сенсі неабсолютної збіжності ряду $\sum b_n$. Для абсолютно збіжних рядів ця теорема, хоч і справедлива, але є майже очевидною.

Доведення

Теорему можна довести безпосередньо з використанням дискретного перетворення Абеля (сумування частинами).

Згідно критерію Коші збіжності числових рядів достатньо довести, що для довільного $\epsilon >0$ існує натуральне число $N$ для якого для всіх $n>N$ і всіх натуральних чисел $m$ виконується нерівність $\left|{\sum }_{k=n+1}^{n+m}{a}_k{b}_k\right|<\epsilon .$

Нехай $\epsilon >0$ — довільне додатне число. Оскільки ряд $b_n$ є збіжним, то згідно ознаки Коші існує натуральне число $N$ для якого для всіх $n>N$ і всіх натуральних чисел $m$ виконується нерівності:

$\left|\sum _{k=n+1}^{n+m}{b}_k\right|<\frac{\epsilon }{3K}.$

Якщо у цьому випадку позначити $B_i={\sum }_{k=n+1}^{n+i}{b}_k$ то $\max B_i<\frac{\epsilon }{3K}$ і можна застосувати нерівність із статті Дискретне перетворення Абеля:

$\left|\sum _{k=1}^m{a}_{k+n}{b}_{k+n}\right|⩽(|a_{n+1}|+2|a_{n+m}|)\cdot \underset{k=1,\dots ,m}{\max }|B_k|<3K\frac{\epsilon }{3K}=\epsilon .$

Таким чином для $\epsilon >0$ ряд $\sum a_n{b}_n$ задовольняє умову Коші для числа $N$ . Таким чином згідно критерію Коші ряд $\sum a_n{b}_n$ є збіжним.

Ознака Абеля в комплексному аналізі

Тісно пов'язана ознака збіжності, також відома як ознака Абеля, часто може використовуватися для встановлення збіжності степеневого ряду на межі його кола збіжності. Зокрема, ознака Абеля стверджує: якщо послідовність додатних дійсних чисел $(a_n)$ монотонно спадає (або принаймні для всіх $n$, більших за деяке натуральне число $m$, маємо $a_n\ge a_{n+1}$), причому

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=0,$

тоді степеневий ряд

$f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n$

є збіжним всюди на замкнутому одиничному колі, крім випадку, коли $z=1$. Ознаку Абеля не можна застосовувати для $z=1$, тому збіжність у цій окремій точці слід досліджувати окремо. Зауважимо, що з ознаки Абеля випливає, зокрема, що радіус збіжності дорівнює принаймні 1. Вона також може бути застосована до степеневого ряду з радіусом збіжності $R\ne 1$ за допомогою простої заміни змінних $\zeta =z/R$. Зауважимо, що ознака Абеля є узагальненням ознаки Лейбніца, якщо взяти $z=-1$.

Доведення ознаки Абеля: Припустимо, що точка $z$ належить одиничному колу, $z\ne 1$. Для кожного значення $n\ge 1$ визначимо

$f_n(z):=\sum _{k=0}^n{a}_k{z}^k.$

Помноживши цю функцію на $(1-z)$, отримаємо

$\begin{array}{cc}(1-z)f_n(z)& =\sum _{k=0}^n{a}_k(1-z)z^k=\sum _{k=0}^n{a}_k{z}^k-\sum _{k=0}^n{a}_k{z}^{k+1}=\\ & =a_0+\sum _{k=1}^n{a}_k{z}^k-\sum _{k=1}^{n+1}{a}_{k-1}{z}^k=\\ & =a_0-a_n{z}^{n+1}+\sum _{k=1}^n(a_k-a_{k-1})z^k.\end{array}$

Перший доданок — константа, другий доданок — рівномірно збігається до нуля (оскільки за припущенням послідовність $\{a_n\}$ збігається до нуля). Необхідно лише довести, що ряд збігається. Покажемо, що цей ряд є абсолютно збіжним:

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|(a_k-a_{k-1})z^k|=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|a_k-a_{k-1}|\cdot |z{|}^k\le \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(a_{k-1}-a_k),$

де остання сума — це збіжний телескопічний ряд. Модуль опущено, оскільки за припущенням послідовність $\{a_n\}$ — спадна.

Звідси, послідовність $\{(1-z)f_n(z)\}$ збігається (навіть рівномірно) на закритому одиничному крузі. Якщо $z\ne 1$, то можна поділити на $(1-z)$ і отримуємо результат.

Ознаки рівномірної збіжності Абеля

Ознака рівномірної збіжності Абеля є критерієм рівномірної збіжності ряду функцій або невласних інтегралів для функцій, що залежать від параметрів. Це пов'язано з ознакою Абеля збіжності звичайного ряду дійсних чисел, і доведення опирається на ту ж техніку дискретного перетворення Абеля.

Ознака наступна: Нехай $\{g_n\}$ рівномірно обмежена послідовність дійснозначних неперервних функцій на множині $E$ така, що $g_{n+1}(x)\le g_n(x)$ для всіх $x\in E$ та натуральних чисел $n$, і нехай $\{f_n\}$ — послідовність дійснозначних функцій таких, що ряд $\sum f_n(x)$ рівномірно збігається на $E$. Тоді ряд $\sum f_n(x)g_n(x)$ рівномірно збігається на $E$.

Ознака Абеля збіжності невласних інтегралів

Ознака Абеля для нескінченного проміжку. Нехай функції $f(x)$ і $g(x)$ визначені на проміжку $[a,\mathrm{\infty })$. Тоді невласний інтеграл $\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)g(x)\mathrm{d}x$ є збіжним, якщо виконуються такі умови:

1. Функція $f(x)$ є інтегровна на $[a,\mathrm{\infty })$.
2. Функція $g(x)$ обмежена і монотонна.

Див. також

• Ознака Діріхле збіжності ряду
• Інтегральна ознака Маклорена — Коші

Література

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Gino Moretti, Functions of a Complex Variable, Prentice-Hall, Inc., 1964
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Mathworld