Міра Жордана

Міра Жордана — один із способів формалізації поняття довжини, площі і $n$-вимірного об'єму в $n$-вимірному евклідовому просторі.

Побудова

Множина вимірна за Жорданом, якщо внутрішня міра Жордана дорівнює зовнішній мірі Жордана.

Міра Жордана $m(\mathrm{\Delta })$, добутку напівінтервалів $\mathrm{\Delta }=\prod _{i=1}^n[a_i,b_i)$ в ${ℝ}^n$ визначається як добуток

$m(\mathrm{\Delta })=\prod _{i=1}^n(b_i-a_i).$

Для обмеженої множини $E\subset {ℝ}^n$ визначаються:

• зовнішня міра Жордана

  $m_e(E)=\inf \sum _{k=1}^{N}m({\mathrm{\Delta }}_k),\bigcup _k{\mathrm{\Delta }}_k\supset E$

• внутрішня міра Жордана

  $m_i(E)=\sup \sum _{k=1}^{N}m({\mathrm{\Delta }}_k),\bigcup _k{\mathrm{\Delta }}_k\subset E,{\mathrm{\Delta }}_k\cap {\mathrm{\Delta }}_m=\varnothing$, якщо $k\ne m,$

де ${\mathrm{\Delta }}_1,{\mathrm{\Delta }}_2,\dots ,{\mathrm{\Delta }}_N$ — паралелепіпеди описаного вище виду.

Множина $E$ називається вимірною за Жорданом, якщо $m_e(E)=m_i(E)$. В цьому випадку міра Жордана дорівнює $m(E)=m_e(E)=m_i(E)$.

Властивості

• Міра Жордана інваріантна щодо рухів евклідового простору.
• Обмежена множина $E\subset {ℝ}^n$ вимірна за Жорданом тоді і тільки тоді, коли її границя має міру Жордана рівну нулю.
• Зовнішня міра Жордана для $E$ рівна зовнішній мірі Жордана для $\overline{E}$ (замикання множини $E$) і рівна мірі Бореля $\overline{E}$.
• Вимірні за Жорданом множини утворюють кільце множин, на якому міра Жордана є скінченно-адитивною функцією.

Вимірні і невимірні за Жорданом множини

Усі прямокутники, кулі, симплекси є вимірними за Жорданом. Простим прикладом не вимірної за Жорданом множини є множина раціональних чисел. Зовнішня міра Жордана цієї множини дорівнює 1, а внутрішня дорівнює нулю.

Література

• Peano G. Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale. — Torino, 1887. Шаблон:Ref-it
• Jordan C. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1892. — t. 8. — p. 69—99. Шаблон:Ref-fr

Див. також

• Міра Лебега
• Міра множини
• Міра Хаусдорфа
• Міра Бореля