Функція Діріхле

Функція Діріхле — функція визначена на множині дійсних чисел, що набуває значення 1 якщо аргумент є раціональним числом і значення 0 якщо аргумент є числом ірраціональним. Формально визначення можна записати так:

$D(x)=\{\begin{array}{cc}1,& x\in \mathbb{Q}\\ 0,& x\in ℝ\setminus \mathbb{Q}\end{array}$

де Q множина раціональних чисел, а R — множина дійсних чисел.

Властивості

• Функція Діріхле є розривною в кожній точці своєї області визначення.
• Функція Діріхле не є інтегровною за Ріманом, проте є інтегровною за Лебегом.
• Функція Діріхле належить до другого класу Бера. Тобто, її не можна представити як границю послідовності неперервних функцій, але можна задати як границю границь послідовності неперервних функцій. Наприклад:

$D(x)=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\cos }^{2n}m!\pi x,$

Інтеграли від функції Діріхле

Інтеграл Рімана

Функція Діріхле не є інтегровною за Ріманом в жодній області інтегрування, оскільки для будь-якого розбиття Z на області інтегрування всі проміжки розбиття $[x_{k-1},x_k]$ містять як раціональні, так і ірраціональні числа і тому нижня сума рівна

$U(Z)=\sum _{k=1}^n(x_k-x_{k-1})\cdot \underset{x_{k-1}<x<x_k}{\inf }f(x)=0,$

а верхня сума рівна

$O(Z)=\sum _{k=1}^n(x_k-x_{k-1})\cdot \underset{x_{k-1}<x<x_k}{\sup }f(x),$

що дорівнює довжині області інтегрування. Оскільки дані твердження виконуються для будь-якого розбиття то границя нижньої суми, при прямуванні довжини найбільшого проміжку розбиття до нуля, не рівна границі верхньої. Отже функція не є інтегровною.

Інтеграл Лебега

Функція Діріхле є простою, тобто набуває скінченної кількості значень, тому маємо рівність для інтеграла в області $I\in ℝ$

$\underset{I}{\int }D(x)d\lambda (x)=0\cdot \lambda (I\cap ℝ\setminus \mathbb{Q})+1\cdot \lambda (I\cap \mathbb{Q})$,

де $\lambda (x)$ позначає міру Лебега.

Оскільки $\lambda (I\cap \mathbb{Q})$ як підмножина раціональних чисел має міру нуль, то також весь інтеграл рівний нулю:

$\underset{I}{\int }D(x)d\lambda (x)=0.$

Див. також

• Функція Томе
• Список об'єктів, названих на честь Діріхле

Література

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Колмогоров.Фомин