Розв'язна група

Шаблон:Теорія груп В абстрактній алгебрі розв'язні групи — групи що відіграють вирішальну роль в теорії Галуа. Поняття розв'язної групи виникло для опису властивостей груп автоморфізмів тих поліномів, розв'язки яких можуть бути записані у радикалах.

Визначення

Група G називається розв'язною, якщо існує спадний ланцюг підгруп:

{1} = G_{0} \subset G_{1} \subset \dots \subset G_{k} = G

такий, що $G_{j - 1}$ є нормальною підгрупою $G_{j}$ а також факторгрупи $G_{j} / G_{j - 1}$ для $j = 1, 2, \dots, k$ є абелевими.

Якщо H — нормальна підгрупа в G, H розв'язна і факторгрупа G / H розв'язна, тоді і G розв'язна. Зокрема якщо дві групи розв'язні, то їх прямий добуток (і навіть напівпрямий добуток) розв'язний.^[1]
Всяка підгрупа і факторгрупа розв'язної групи розв'язні.^[1]
Якщо порядок скінченної групи ділиться лише на два прості числа, то така група розв'язна.^[1]

Ланцюги нормальних підгруп $S_{n}$ :

$S_{2}$ $\overset{2}{⟶}$ $e$ $, (C_{2} = S_{2})$
$S_{3}$ $\overset{2}{⟶}$ $C_{3}$ $\overset{3}{⟶} e, (C_{3} = A_{3})$
$S_{4}$ $\overset{2}{⟶}$ $A_{4}$ $\overset{3}{⟶}$ $V_{4}$ $\overset{2}{⟶} C_{2} \overset{2}{⟶} e$
$S_{5}$ $\overset{2}{⟶}$ $A_{5}$ $\overset{60}{⟶} e$
$S_{6}$ $\overset{2}{⟶}$ $A_{6}$ $\overset{360}{⟶} e$