Бета-розподіл

Шаблон:Otheruses Шаблон:Розподіл ймовірностей Бе́та-розпо́діл в теорії імовірностей та статистиці — двопараметрична сім'я абсолютно неперервних розподілів.

Означення

Нехай розподіл випадкової величини $X$ задаєтся густиною ймовірності $f_X$, що має вигляд:

$f_X(x)=\frac{1}{\mathrm{B}(\alpha ,\beta )}{x}^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}$,

де

• $\alpha ,\beta >0$ довільні фіксовані параметри, і
• $\mathrm{B}(\alpha ,\beta )=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}dx$ — бета-функція.

Тоді випадкова величина $X$ має бета-розподіл. Пишуть: $X\sim \mathrm{B}(\alpha ,\beta )$.

Форма графіка

Форма графіка густини ймовірності бета-розподілу залежить від вибору параметрів $\alpha$ і $\beta$.

• $\alpha <1,\beta <1$ — графік опуклий і прямує до нескінченності на границях (червона крива);
• $\alpha <1,\beta \ge 1$ чи $\alpha =1,\beta >1$ — графік строго спадний (синя крива)
  • $\alpha =1,\beta >2$ — графік строго опуклий;
  • $\alpha =1,\beta =2$ — графік є прямою лінією;
  • $\alpha =1,1<\beta <2$ — графік строго ввігнутий;
• $\alpha =1,\beta =1$ графік збігається з графіком густини стандартного неперервного рівномірного розподілу;
• $\alpha =1,\beta <1$ або $\alpha >1,\beta \le 1$ — графік строго зростаючий (зелена крива);
  • $\alpha >2,\beta =1$ — графік строго опуклий;
  • $\alpha =2,\beta =1$ — графік є прямою линією;
  • $1<\alpha <2,\beta =1$ — графік строго ввігнутий;
• $\alpha >1,\beta >1$ — график унімодальний (пурпурова та чорна криві)

У випадку, коли $\alpha =\beta$, густина ймовірності симетична відносно $1/2$ (червона та пурпурова криві), то

$f_X(x-1/2)=f_X(x+1/2),x\in [0,1/2]$.

Моменти

Математичне сподівання та дисперсія випадкової величини $X$, що має бета-розподіл, мають такий вигляд:

$𝔼[X]=\frac{\alpha }{\alpha +\beta }$,

$\mathrm{D}[X]=\frac{\alpha \beta }{(\alpha +\beta {)}^2(\alpha +\beta +1)}$.

Зв'язок з іншими розподілами

Стандартний неперервний рівномірний розподіл є окремим випадком бета-розподілу:

$\mathrm{U}[0,1]\equiv \mathrm{B}(1,1)$

$X,Y$ — незалежні гамма-розподілені випадкові величини, причому $X\sim \mathrm{\Gamma }(\alpha ,1)$, а $Y\sim \mathrm{\Gamma }(\beta ,1)$, то

$\frac{X}{X+Y}\sim \mathrm{B}(\alpha ,\beta )$

Апріорний розподіл Голдейна

$B(0,0)$: густина ймовірності апріорного розподілу Голдейна демонструє повну відсутність апріорної інформації про випадкову величину, де ми навіть не знаємо чи є можливим провести експеримент який дав би позитивний чи негативний резульат. Коли α, β → 0, розподіл наближається до розподілу Бернуллі в якому вся густина розподілу сконцентрована на кінцях, в 0 і 1, у вигляді дельта-функції Дірака, і нульова між ними.

Розподіл B(0,0) запропонував Джон Бердон Сандерсон Голдейн, який зауважив що апріорна ймовірність що представляє повну непевність повинна бути пропорційною до p⁻¹(1−p)⁻¹. Функцію p⁻¹(1−p)⁻¹ можна розглядати як границю бета розподілу в якому обидва параметри наближаються до нуля, α, β → 0. Таким чином, p⁻¹(1−p)⁻¹ розділена на бета-функцію наближається до двоточкового розподілу Бернуллі в якому вся густина розподілу сконцентрована на кінцях, в 0 і 1, у вигляді дельта-функції Дірака, і нульова між ними. Це приклад розподілу ймовірностей для підкидання монети, якщо одна сторона - нуль, а інша - 1. Шаблон:Section-stub

Шаблон:Перекласти

Посилання

Шаблон:Statistics-stub