Спліт-кватерніон

Спліт-кватерніо́ни — чотиривимірні гіперкомплексні числа виду $a + b i + c j + d k$ (вперше описані Джеймсом Коклі у 1849 році), де

a, b, c, d

i, j, k

для яких виконується:

i^{2} = - 1, j^{2} = + 1, i j = k

— все як для тессарінів,

тільки замість комутативності (що приводить до $k^{2} = - 1$ ), вимагається

k^{2} = + 1

.

\begin{matrix} i j & = & - j i & = & k, \\ j k & = & - k j & = & - i, \\ k i & = & - i k & = & j . \end{matrix}

Дещо в іншій формі (із заміною k на -k) вони трапляються під назвою пара-кватерніони.

Спліт-кватерніон як і тессаріни можна записати у вигляді $(a + b i) + (c + d i) j = A + B j,$ де

A, B

Пов'язані означення

Для спліт-кватерніона $q = a + b i + c j + d k$ ,

Як і для комплексних чисел, модуль спліт-кватерніона визначається як: $| q | = \sqrt{q \bar{q}} = \sqrt{a^{2} + b^{2} - c^{2} - d^{2}} .$

В тессарінів, як і в подвійних числах, присутня уявна одиниця $j^{2} = + 1,$ отже, також існують два ортогональні ідемпотентні елементи:

e_{1} = \frac{1 - j}{2}, e_{2} = \frac{1 + j}{2} \Rightarrow {\begin{matrix} e_{1} e_{1} = e_{1} \\ e_{2} e_{2} = e_{2} \\ e_{1} e_{2} = 0 \end{matrix},

які можна використати як альтернативний базис:

A + B j = (A - B) e_{1} + (A + B) e_{2} = (a - c + (b - d) i) e_{1} + (a + c + (b + d) i) e_{2} = \tilde{A} e_{1} + \tilde{B} e_{2}

У даному базисі додавання, множення та ділення обчислюються покомпонентно. Ділення не визначене коли $\tilde{A}$ чи $\tilde{B}$ рівні нулю.

Спліт-кватерніон може бути представлений у вигляді матриці 2×2 із комплексних чисел:

(\begin{matrix} a + b i & c + d i \\ c - d i & a - b i \end{matrix})