Інтегральна теорема Коші

Шаблон:Комплексний аналіз Інтегра́льна теоре́ма Коші́ (також теорема Коші — Гурса) — одна з основних теорем комплексного аналізу. Перші варіанти теореми сформулював та довів Оґюстен-Луї Коші у 1825 році, при слабших вимогах теорему довів французький математик Едуард Гурса у 1883 році.

Формулювання теореми у варіанті Коші

Нехай $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ диференційовна в однозв’язній області $D\subset ℂ$ і її похідна неперервна в цій області (у будь-якій точці цієї області). Тоді інтеграл від $f(z)$ по будь-якій замкненій простій кривій $\gamma$, яка лежить в області $D$, дорівнює нулю:

$\underset{\gamma }{\int }f(z)dz=0$

Доведення

Згідно з властивістю інтегралу:

$\underset{\gamma }{\int }f(z)dz=\underset{\gamma }{\int }udx-vdy+i\underset{\gamma }{\int }udy+vdx$

Оскільки $f(z)$ має неперервну похідну першого порядку в області $D$, то частинні похідні від U та V також є неперервними в області $D.$

Згідно теореми Гріна тоді інтеграли по контуру можна замінити на інтеграли по області (позначимо її R), яку обмежує цей контур, а саме:

$\underset{\gamma }{\int }f(z)dz=\underset{\gamma }{\int }udx-vdy+i\underset{\gamma }{\int }udy+vdx=\underset{R}{\iint }(-\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y})dA+i\underset{R}{\iint }(\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y})dA.$

Оскільки $f(z)$ є голоморфною функцією, то виконуються умова Коші-Рімана:

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$ і

$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.$

Із цих рівностей випливає рівність нулю двох інтегралів у правій частині інтегральної рівності, а тому також $\underset{\gamma }{\int }f(z)dz=0.$

Варіант теореми Коші — Гурса для трикутників

Якщо функція f є голоморфною в області $D\subset ℂ$, то інтеграл від f no орієнтованій границі будь-якого трикутника $\mathrm{\Delta }\subset D$ є рівним 0:

$\underset{\partial \mathrm{\Delta }}{\int }f(z)dz=0.$

У даному варіанті не вимагається неперервність похідної у області.

Доведення

Нехай твердження теореми не виконується і існує трикутник $\mathrm{\Delta }\subset D$ такий, що

$|\underset{\partial \mathrm{\Delta }}{\int }f(z)dz|=M>0.$

Припустимо, що границя $\partial \mathrm{\Delta },$ яка є кусково гладкою кривою) є орієнтована проти годинникової стрілки.

Розіб'ємо трикутник $\mathrm{\Delta }$ на чотири трикутники середніми лініями і введемо на границях цих трикутників орієнтацію проти годинникової стрілки.

Очевидно, що інтеграл від f по $\partial \mathrm{\Delta }$ дорівнює сумі інтегралів по границях малих трикутників, бо інтеграли по середніх лініях беруться двічі в протилежних напрямках і тому взаємно скорочуються, а інші границі утворюють $\partial \mathrm{\Delta }$ із відповідною орієнтацією. Тому знайдеться хоча б один малий трикутник ${\mathrm{\Delta }}_1$ для якого

$|\underset{\partial {\mathrm{\Delta }}_1}{\int }f(z)dz|⩾\frac{M}{4}.$

Трикутник ${\mathrm{\Delta }}_1$ знову можна розбити середніми лініями на чотири трикутника і, як і вище, серед них є хоча б один ${\mathrm{\Delta }}_2$ такий, що

$|\underset{\partial {\mathrm{\Delta }}_2}{\int }f(z)dz|⩾\frac{M}{4^2}.$

За індукцією побудуємо послідовність вкладених один в одного трикутників таких, що для інтеграла по границі $n$-го трикутника виконується нерівність:

$|\underset{\partial {\mathrm{\Delta }}_n}{\int }f(z)dz|⩾\frac{M}{4^n}.$

Послідовність вкладених трикутників ${\mathrm{\Delta }}_n$ має спільну точку $z_0.$ Очевидно $z_0\in \mathrm{\Delta }\subset D$ і функція f є голоморфною в точці $z_0.$ Тому з означення комплексної похідної для будь-якого $\epsilon >0$ знайдеться $\delta >0$ таке, що для всіх точок околу $V=\{|z-z_0|<\delta \}$ у рівності

$f(z)-f(z_0)=f^{\prime }(z_0)(z-z_0)+g(z)(z-z_0)$

для функції g виконується нерівність $|g(z)|<\epsilon .$

Усі трикутники побудованої послідовності починаючи з деякого ${\mathrm{\Delta }}_n$ належать околу V. Тому

$\underset{\partial {\mathrm{\Delta }}_n}{\int }f(z)dz=\underset{\partial {\mathrm{\Delta }}_n}{\int }f(z_0)dz+\underset{\partial {\mathrm{\Delta }}_n}{\int }{f}^{\prime }(z_0)(z-z_0)dz+\underset{\partial {\mathrm{\Delta }}_n}{\int }g(z)(z-z_0)dz.$

Але перші два інтеграли справа є рівними нулю оскільки множники $f(z_0)$ і $f^{\prime }(z_0)$ можна винести за знак інтеграла, а інтеграли від 1 і $z-z_0$ по замкнутому контуру $\partial {\mathrm{\Delta }}_n$ є рівними 0.

Оскільки $|g(z)|<\epsilon$ для всіх $z\in \partial {\mathrm{\Delta }}_n$ і також для всіх $z\in \partial {\mathrm{\Delta }}_n$ величина $z-z_0$ не перевищує периметра $P({\mathrm{\Delta }}_n)$ трикутника ${\mathrm{\Delta }}_n,$ то

$|\underset{\partial {\mathrm{\Delta }}_n}{\int }f(z)dz|=|\underset{\partial {\mathrm{\Delta }}_n}{\int }g(z)(z-z_0)dz|<\epsilon (P({\mathrm{\Delta }}_n){)}^2.$

Але за побудовою $P({\mathrm{\Delta }}_n)=\frac{P(\mathrm{\Delta })}{2^n},$ де $P(\mathrm{\Delta })$ позначає периметр трикутника $\mathrm{\Delta },$ тож також

$|\underset{\partial {\mathrm{\Delta }}_n}{\int }f(z)dz|<\epsilon \frac{(P(\mathrm{\Delta }){)}^2}{4^n}$

і враховуючи, що $|\underset{\partial {\mathrm{\Delta }}_n}{\int }f(z)dz|⩾\frac{M}{4^n}$ остаточно

$M<\epsilon (P(\mathrm{\Delta }){)}^2.$

Із довільності числа $\epsilon$ випливає, що M = 0 всупереч припущенню.

Узагальнення для довільних ламаних ліній

Нехай тепер $a_0,\dots a_m\in D$ є точками у області $D\subset ℂ$ на якій функція є голоморфною і замкнута опукла оболонка цих точок є підмножиною $D.$ Позначимо $L_{a_0,\dots ,a_m}$ орієнтовану замкнуту ламану лінію (можливо із самоперетинами) одержану із відрізків, що сполучають точки $a_i$ і $a_{i+1}$ (із відповідним напрямком) і відрізку із точки $a_m$ до точки $a_0.$ Тоді:

$\underset{L_{a_0,\dots ,a_m}}{\int }f(z)dz=0.$

Для $m=0$ (коли ламана лінія є точкою) і $m=1$ (коли ламана лінія є відрізком, який проходиться спершу в одному напрямку, а потім в протилежному) твердження є очевидним. Випадок $m=2$ є випадком трикутників, який доведений вище. Нехай тепер $m>2$ і припустимо за індукцією, що твердження доведено для всіх ламаних ліній для $m-1.$ Тоді можна записати:

$\underset{L_{a_0,\dots ,a_m}}{\int }f(z)dz=\underset{L_{a_0,\dots ,a_{m-1}}}{\int }f(z)+\underset{L_{a_{m-1},a_m,a_0}}{\int }f(z)$

оскільки відрізок, що з'єднує точки $a_0$ і $a_{m-1}$ у двох інтегралах з правої сторони проходять у різних напрямках і відповідні значення інтегралів скорочуються, а всі інші відрізки у лівій і правій стороні є однаковими із врахуванням напрямку. Але згідно припущення індукції обидва інтеграли з правої сторони є рівними нулю, що й доводить твердження.

Первісна і теорема Коші — Гурса у крузі

Якщо $D(z_0,r)$ є відкритим кругом із центром у точці $z_0$ і радіусом $r$ і функція f є голоморфною в цьому крузі, то можна ввести функцію $F(z)=\underset{[z_0,z]}{\int }f(\xi )d\xi .$ Із теореми Коші — Гурса для трикутників легко можна довести, що $F(z)$ є первісною для $f(z),$ тобто $F^{\prime }(z)=f(z).$

Також із твердження теореми для ламаних ліній випливає, що для будь-яких точок $z_1,z_2\in D(z_0,r)$ і спрямлюваної кривої $\gamma :[0,1]\to D(z_0,r)$ для якої $\gamma (0)=z_1,\gamma (1)=z_2$ виконується рівність $\underset{\gamma }{\int }f(z)dz=F(z_2)-F(z_1)$.

Зокрема, якщо ${\gamma }_1:[0,1]\to D(z_0,r)$ і ${\gamma }_2:[0,1]\to D(z_0,r)$ є спрямлюваними кривими із однаковими початковими і кінцевими точками то:

$\underset{{\gamma }_1}{\int }f(z)dz=\underset{{\gamma }_2}{\int }f(z)dz.$

Це твердження є варіантом загальної теореми Коші — Гурса для круга.

Теорема Коші — Гурса для гомотопних шляхів і контурів

Нехай функція f є голоморфною у області U і ${\gamma }_0:[a,b]\to U$ і ${\gamma }_1:[a,b]\to U$ є гомотопними (із гомотопією, що фіксує кінцеві точки) і спрямлюваними у U. Тоді:

$\underset{{\gamma }_0}{\int }f(z)dz=\underset{{\gamma }_1}{\int }f(z)dz.$

Доведення

Нехай $\gamma :[0,1]\times [a,b]\to U$ є гомотопією із ${\gamma }_0$ у ${\gamma }_1$. Для будь-яких $s\in [0,1]$ і $t\in [a,b]$ точка $\gamma (s,t)$ належить $U$. Із компактності випливає існування радіуса $r>0$ для якого $D(\gamma (s,t),r)\subset U$ для всіх $s\in [0,1]$ і $t\in [a,b]$. Оскільки відображення $\gamma$ є неперервним на компактній множині то воно є рівномірно неперервним. Зокрема існує $\delta >0$ для якого

$|\gamma (s^{\prime },t^{\prime })-\gamma (s,t)|⩽\frac{r}{4}$

для всіх $s,s^{\prime }\in [0,1]$ і $t,t^{\prime }\in [a,b]$ для яких $|s-s^{\prime }|⩽\delta$ і $|t-t^{\prime }|⩽\delta$. Нехай $0=s_0<\dots <s_n=1$ і $a=t_0<\dots <t_m=b$ є розбиттями відповідних відрізків для яких $|s_i-s_{i-1}|⩽\delta$ і $|t_j-t_{j-1}|⩽\delta$ для всіх $1⩽i⩽n$ і $1⩽j⩽m$. Для кожного $i$ і $j$ позначимо $C_{i,j}$ замкнутий контур із точок

$C_{i,j}:={\gamma }_{\gamma (s_i,t_{j-1})\to \gamma (s_i,t_j)\to \gamma (s_{i-1},t_j)\to \gamma (s_{i-1},t_{j-1})\to \gamma (s_i,t_{j-1})}.$

За побудовою довжина цього контура є меншою, ніж $\frac{r}{4}+\frac{r}{4}+\frac{r}{4}+\frac{r}{4}=r,$ тож контур цілком міститься у крузі $D(\gamma (s_i,t_i),r).$

Тому із попереднього

$\underset{C_{i,j}}{\int }f(z)dz=0$

для всіх $1⩽i⩽n$ і $1⩽j⩽m$. Просумувавши ці рівності для всіх $i$ і $j$, враховуючи фіксацію кінцевих точок при гомотопії і здійснивши всі скорочення одержуємо, що

$\underset{{\gamma }_{\gamma (0,t_0)\to \gamma (0,t_1)\to \dots \to \gamma (0,t_n)}}{\int }f(z)dz=\underset{{\gamma }_{\gamma (1,t_0)\to \gamma (1,t_1)\to \dots \to \gamma (1,t_n)}}{\int }f(z)dz$

Далі можна записати рівність

$\underset{{\gamma }_{\gamma (0,t_{i-1})\to \gamma (0,t_i)}}{\int }f(z)dz=\underset{{\gamma }_{0,[t_{i-1},t_i]}}{\int }f(z)dz$

для $i=1,\dots ,n$, де ${\gamma }_{0,[t_{i-1},t_i]}:[t_{i-1},t_i]\to U$ є обмеженням ${\gamma }_0:[a,b]\to U$ на $[t_{i-1},t_i]$ і так само для ${\gamma }_1$. Дана рівність випливає із теореми Коші — Гурса для кругів, оскільки і відрізок, що сполучає точки $\gamma (0,t_{i-1})$ і $\gamma (0,t_i)$ і крива ${\gamma }_{0,[t_{i-1},t_i]}$ за побудовою належать кругу $D(\gamma (s_0,t_i),r).$

Разом із цього отримуємо

$\underset{{\gamma }_0}{\int }f(z)dz=\underset{{\gamma }_1}{\int }f(z)dz.$

Твердження для гомотопних контурів

Із попереднього твердження випливає, зокрема, що якщо $\gamma$ є стягуваним замкнутим спрямлюваним контуром у U то

$\underset{\gamma }{\int }f(z)dz=0.$

Дане твердження є наслідком того факту, що гомотопія із замкнутого контура $\gamma ={\gamma }_0:[a,b]\to U$ на точку може завжди бути вибрана так, що вказаною точкою є точка $z_0=\gamma (a)=\gamma (b)$ і гомотопія є гомотопією, що фіксує кінцеві точки, тобто ${\gamma }_t(a)={\gamma }_t(b)=z_0$ і ${\gamma }_1(s)=z_0$ для всіх $t\in [a,b]$ і всіх $s\in [a,b].$ Тоді оскільки інтеграл по контуру виродженому у точку $z_0$ є рівним нулю, то і інтеграл по контуру кінцевими точками якого є $z_0$ і який є стягуваним до $z_0$ за допомогою гомотопії, що фіксує кінцеві точки є рівним нулю.

Більш загально, якщо ${\gamma }_0,{\gamma }_1:[a,b]\to U$ є замкнутими спрямлюваними контурами, що є гомотопними, як замкнуті контури (тобто при гомотопії усі проміжні криві ${\gamma }_t$ теж є замкнутими контурами), то також

$\underset{{\gamma }_0}{\int }f(z)dz=\underset{{\gamma }_1}{\int }f(z)dz.$

Узагальнення для довільних неперервних шляхів

Подані вище варіанти теореми дозволяють ввести поняття комплексного інтегралу для довільних неперервних шляхів $\gamma :[a,b]\to U$ (не обов'язково спрямлюваних). Для такого шляху із його компактності випливає існування такого розбиття $a=t_0<\dots <t_m=b$, що всі відрізки виду $[\gamma (t_i),\gamma (t_{i+1})]$ належать $U$. Тоді можна розглянути $\overline{\gamma }:[a,b]\to U$ — ламану лінію із цих відрізків із необхідною параметризацією. Очевидно $\overline{\gamma }$ є спрямлюваною кривою.

Тоді можна взяти за означенням $\underset{\gamma }{\int }f(z)dz:=\underset{\overline{\gamma }}{\int }f(z)dz.$ Із теореми Коші — Гурса випливає незалежність значення інтегралу від вибору ламаної лінії $\overline{\gamma }$.

Якщо тепер ${\gamma }_0:[a,b]\to U$ і ${\gamma }_1:[a,b]\to U$ є гомотопними (із гомотопією, що фіксує кінцеві точки) і неперервними, то із таким означенням інтегралу:

$\underset{{\gamma }_0}{\int }f(z)dz=\underset{{\gamma }_1}{\int }f(z)dz.$

Гомологічне формулювання теореми

Нехай $U$ є областю і ${\gamma }_i$ є замкнутими контурами, що належать $U$. Циклом називається формальна лінійна комбінація:

$\mathrm{\Gamma }=n_1{\gamma }_1+n_2{\gamma }_2+\dots +n_r{\gamma }_r$

коефіцієнти якої $n_i$ є цілими числами. Множина усіх таких лінійних комбінацій для всіх можливих замкнутих контурів у $U$ із очевидною операцією додавання утворює абелеву групу.

На множині циклів можна ввести операцію інтегрування. А саме, якщо функція $f$ є визначена на всіх контурах ${\gamma }_i$, що входять у цикл $\mathrm{\Gamma }=n_1{\gamma }_1+n_2{\gamma }_2+\dots +n_r{\gamma }_r$ то за означенням:

$\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }f(z)dz=n_1\underset{{\gamma }_1}{\int }f(z)dz+\dots +n_r\underset{{\gamma }_r}{\int }f(z)dz.$

Для довільної точки $z_0,$ що не лежить на контурі $\gamma$ можна ввести індекс контуру відносно точки, як

$I(\gamma ,z_0)=\frac{1}{2\pi i}\underset{\gamma }{\int }\frac{1}{z-z_0}dz.$

Цей індекс завжди є цілим числом. Аналогічно як для інтеграла можна ввести індекс цикла відносно точки, що не належить жодному із контурів, що входять у цикл:

$I(\mathrm{\Gamma },z_0)=\frac{1}{2\pi i}\sum _{i=1}^r\underset{{\gamma }_i}{\int }\frac{1}{z-z_0}dz.$

Нехай функція $f$ є голоморфною на області $U$. Згідно гомологічного варіанту теореми Коші, якщо для деякого цикла $\mathrm{\Gamma }$ і кожної точки $z_0,$ що не належить $U$ виконується рівність $I(\mathrm{\Gamma },z_0)=0,$ то також $\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }f(z)dz=0.$

Наслідки

За допомогою теореми Коші доводиться справедливість інтегральної формули Коші та основної теореми про лишки.

Див. також

• Теорема Морери
• Теорема Монтеля
• Інтегральна формула Коші
• Лишок
• Список об'єктів, названих на честь Оґюстена-Луї Коші

Джерела

• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч2
• Шаблон:Грищенко.ТФКЗ
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — Москва: Наука, 1969. — 577 с.
• Terry Tao. Math 246A, Notes 3: Cauchy’s theorem and its consequences Шаблон:Webarchive