Теорія зображень

Шаблон:Фізична теорія Теорія зображень — розділ квантової механіки, в якому розглядаються різні форми подання основних квантовомеханічних рівнянь.

Теорія зображень розроблена Полем Діраком. При розв'язку квантово-механічних задач використовуються різні зображення, виходячи з міркувань зручності. Серед найвідоміших із них: координатне зображення, імпульсне зображення, енергетичне зображення, картина Шредінгера, картина Гейзенберга, картина взаємодії, зображення чисел заповнення тощо.

Базиси у гільбертовому просторі станів

Квантова механіка виходить з того, що фізична система описується вектором у певному гільбертовому просторі, який називають вектором стану. Зручно працювати не з самими векторами, а з розкладом цих векторів у певному базисі. Оскільки вибір базису в гільбертовому просторі неоднозначний, то й розкладів вектора стану може бути як завгодно багато. Такі розклади називаються зображеннями.

Базис у Гільбертовому просторі зручно будувати з власних векторів певного оператора. В залежності від вибраного оператора розрізняють різні зображення.

Координатне зображення

В координатному зображенні фізична система описується хвильовою функцією, залежною від координат частинок. Оператори, які відповідають вимірюваним фізичним величинам також залежать від координат частинок. Середнє значення вимірюваної величини A визначається як

$⟨A⟩=\int {\psi }^{*}(\xi )\hat{A}\psi (\xi )d\xi$,

де $\hat{A}$ — оператор величини A, $\psi (\xi )$ — хвильова функція, а $\xi$ — узагальнене позначення для координато всіх частинок фізичної системи.

Еволюція хвильової функції описується рівнянням Шредінгера

Імпульсне зображення

Базис у гільбертовому просторі станів можна скласти з власних функцій оператора імпульсу $\widehat{𝐩}=-i\hslash \mathrm{\nabla }$. При цьому отримують зображення, яке називають імпульсним. Воно зручне для вивчення задач розсіювання.

Власні функції оператора імпульсу суть монохроматичні плоскі хвилі із хвильовим вектором $𝐤$, який можна вибрати як квантове число. Позначивши ці власні функції $⟨𝐫|𝐤⟩$ (дивіться Бра-кет нотація), причому

$⟨{𝐤}^{\prime }|𝐤⟩=\int ⟨{𝐤}^{\prime }|𝐫⟩⟨𝐫|𝐤⟩d{r}^3=\delta ({𝐤}^{\prime }-𝐤)$

де $\delta (x)$ — дельта-функція Дірака, координатну хвильову функцію ${\psi }_a(𝐫)$ можна розкласти в базисі, утвореному цими функціями

${\psi }_a(𝐫)=⟨𝐫|a⟩=\int ⟨𝐫|𝐤⟩⟨𝐤|a⟩d^{3}k$

Функція ${\psi }_a(𝐤)=⟨𝐤|a⟩$ описує квантову систему в імпульсному зображенні.

Середнє значення фізичної величини визначається, як

$⟨A⟩=\int ⟨a|𝐫⟩\hat{A}⟨𝐫|a⟩d{r}^3=⟨A⟩=\int \int \int ⟨a|{𝐤}^{\prime }⟩⟨{𝐤}^{\prime }|𝐫⟩\hat{A}⟨𝐫|𝐤⟩⟨𝐤|a⟩d{r}^{3}d{k}^{\prime 3}d{k}^3$

Функція двох змінних $A({𝐤}^{\prime },𝐤)=\int ⟨{𝐤}^{\prime }|𝐫⟩\hat{A}⟨𝐫|𝐤⟩d{r}^3$ задає квантовомеханічний оператор в імпульсному зображенні.

Енергетичне зображення

В енергетичному зображенні базис гільбертового простору станів вибирається з власних функцій оператора енергії — гамільтоніана. Якщо n — квантове число, що характеризує стани з енергією $E_n$, то для функції ${\psi }_a(\xi )$ існує розклад

${\psi }_a(\xi )=⟨\xi |a⟩=\sum _n⟨\xi |n⟩⟨n|a⟩$.

Коефіцієнти розкладу $⟨n|a⟩$ утворюють вектор у гільбертовому просторі. У випадку дискретного спектру енергій його можна подати у вигляді нескінченного стовпчика. У випадку неперервного спектру — це функція, аргументами якої є енергія та інші квантові числа.

Оператором вимірваної величини є матриця, елементи якої визначаються з рівняння

$A_{nm}=\int ⟨n|\xi ⟩\hat{A}⟨\xi |m⟩d\xi$

Зображення чисел заповнення

Розглядаючи стани в просторі Фока, можна побудувати базис таким чином, щоб окрім інших квантових чисел, таких як хвильовий вектор, спін тощо, базисні хвильові функції були власними функціями оператора числа частинок

$\hat{N}={\hat{a}}^{†}\hat{a}$,

де ${\hat{a}}^{†}$ і $\hat{a}$ — оператори народження і знищення, відповідно. Тоді позначення

$|n⟩=({\hat{a}}^{†}{)}^n|0⟩$

має прозоре фізичне значення — число частинок у даному квантовому стані. Для бозонів n може приймати довільні цілі невід'ємні значення, для ферміонів n може бути нулем, або одиницею.

Таке зображення називається зображенням чисел заповнення.

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Шаблон:Physics-stub