Дельта-функція Дірака

схематичне зображення дельта функції як лінії з якої виступає стрілка. Висота стрілки відображає число, яке можна розцінювати як площу під графіком функції.

Дельта функція Дірака як границя (в сенсі границі за розподілом) послідовності гаусівських функцій розподілу ${\delta }_a(x)=\frac{1}{a\sqrt{\pi }}{\mathrm{e}}^{-x^2/a^2}$ as $a\to 0.$

δ-функція — це узагальнена функція, формально визначається як неперервний лінійний функціонал у просторі диференційовних функцій. δ-функція не є функцією в класичному розумінні.

Введена англійським фізиком Діраком. Дозволяє записати просторову густину фізичної величини (маса, електричний заряд, інтенсивність джерела тепла, сили тощо) зосередженою або прикладеною в одній точці. Наприклад, густина точкової маси m, що знаходиться в точці $a$, евклідового простору ${ℝ}^n$, записується за допомогою δ-функції у вигляді $m\delta (x-a)$.

Означення

δ-функція визначається формальним співвідношенням

$(\delta ;f)=\underset{{ℝ}^n}{\int }\delta (x-a)f(x)dx=f(a)$

для будь-якої неперервної функції $f(x)$.

Властивості

Для дельта-функції однієї змінної справедливі такі рівняння:

• $\delta (x)=0,\mathrm{\forall }x=0$.
• $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\delta (x)dx=1$.
• $x{\delta }^{\prime }(x)=-\delta (x)$.
• $\delta (f(x))=\sum _k\frac{\delta (x-x_k)}{|f^{\prime }(x_k)|}$, де $x_k$ — нулі функції $f(x)$.

Інтегральне представлення

У багатьох випадках зручним виявляється таке представлення дельта-функції:

Розглянемо інтеграл

$I(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{i\omega t}d\omega$,    (1)

який можна інтерпретувати як границю

$I(t)=\underset{N=\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{-N}{\overset{N}{\int }}{e}^{i\omega t}d\omega =\underset{N=\mathrm{\infty }}{\lim }2\pi N\frac{\sin tN}{\pi tN}$.    (2)

Відомо, що

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin t}{t}dt=\pi$.    (3)

Як наслідок з (3) для будь-якого $N$ справедлива рівність:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}2N\frac{\sin tN}{tN}dt=2\pi$.    (4)

Можна показати, що при необмеженому зростанні $N$ виявляються правильними всі властивості дельта-функції і функція (2) прямує до $\delta (t)$; це дозволяє зробити висновок, що:

$I(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{i\omega t}d\omega =2\pi \delta (t)$.

Похідна дельта-функції

Фундаментальний вираз, що описує похідну дельта-функції $\delta (x)$:

$\int f(x){\delta }^{[n]}(x)dx=-\int \frac{\partial f}{\partial x}{\delta }^{[n-1]}(x)dx$.

Підставивши $f(x)=xg(x)$, одержимо вираз:

$\int xg(x){\delta }^{\prime }(x)dx=-\int \delta (x)\frac{\partial }{\partial x}[xg(x)]dx$.

Після перетворення маємо:

$-\int \delta (x)[g(x)+x{g}^{\prime }(x)]dx=-\int g(x)\delta (x)dx$.

Оскільки $\int x{g}^{\prime }(x)\delta (x)dx=0$, одержуємо остаточний вираз

$x{\delta }^{\prime }(x)=-\delta (x)$.

У загальному вигляді вираз похідної дельта-функції записується так:

$\int [x^{n}f(x)]{\delta }^n(x)dx=(-1{)}^n\int \frac{{\partial }^n[x^{n}f(x)]}{\partial x^n}\delta (x)dx$.

Для довільної дельта-функції справджуються наступні тотожності:

${\delta }^{\prime }(-x)=-{\delta }^{\prime }(x)$;

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x){\delta }^{\prime }(x-a)dx=-f^{\prime }(a)$;

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\delta \left(\frac{1}{x}\right)dx=0$.

Перетворення Фур'є

До дельта-функції $x(t)=\delta (t)$ можна застосувати перетворення Фур'є:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\delta (t)\cdot e^{-i2\pi ft}dt=e^{-i2\pi f\cdot 0}=1$

в результаті одержуємо, що спектр δ-функції є константою: $F(\delta )=1$.

Доведено, що похідна функції Гевісайда дорівнює дельта-функції. Тобто Функція Гевісайда — первісна дельта-функції:

$H(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\delta (t)dt$.

Отже, застосувавши перетворення Фур'є до первісної дельта-функції

$\sqrt{2\pi }H(t)$,

одержимо її образ у вигляді:

$\frac{1}{i\omega }+\pi \delta (t)$.

Представлення в різних координатах і системах відліку

У двовимірному просторі:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\iint }}{\delta }^2(x,y)dxdy=1$;

$\delta (ax,by)=\frac{1}{\left|ab\right|}{\delta }^2(x,y)$;

${\delta }^2(x,y)=\delta (x)\delta (y)$.

У полярних координатах:

${\delta }^2(x,y)=\frac{\delta (r)}{\pi \left|r\right|}$.

У тривимірному просторі:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\iiint }}{\delta }^3(x,y,z)dxdydz=1$;

${\delta }^3(x,y,z)=\delta (x)\delta (y)\delta (z)$.

У циліндричній системі:

${\delta }^3(r,\theta ,z)=\frac{\delta (r)\delta (z)}{\pi r}$.

У сферичній системі відліку:

${\delta }^3(r,\theta ,\varphi )=\frac{\delta (r)}{2\pi r^2}$.

Фізична інтерпретація

Графік функції Гевісайда, похідна від якої — дельта-функція

Графік дельта-функції

Миттєве прискорення

Прикладом застосування дельта-функції Дірака може служити задача про зіткнення двох тіл. Якщо на непорушне тіло налітає інше, то обидва тіла отримують прискорення і змінюють свою швидкість. Як розрахувати прискорення раніше нерухомого тіла? Побудуємо графік швидкості від часу. Графік буде мати вигляд, показаний на верхньому рисунку праворуч. На нижньому рисунку приведений графік дельта-функції з одиничною амплітудою, він відображає миттєвий процес набору швидкості тілом.

Беручи до уваги те, що модель розглядається в евклідовому просторі, можна записати наступне рівняння:

$a(t)=\nu \delta (t-t_a)$.

Функція Гріна

Розглянемо інші приклади. Дельта-функція застосовується у математичній фізиці при розв'язку задач, У які входять зосереджені величини. В квазікласичному наближенні $h\to 0$ хвильові функції локалізуються в дельта-функції, а центри їх зосередження рухаються по класичних траєкторіях за рівняннями Ньютона. Через дельта-функцію, також записується функція Гріна лінійного оператора $L$, що діє на узагальнені функції над многовидом $M$ в точці $x_0$. Рівняння має вигляд $({\mathrm{\nabla }}^{2}f)(x)=\delta (x-x_0)$.

де ${\mathrm{\nabla }}^2$ — оператор Лапласа.

Важливо відмітити наступну формулу

${\mathrm{\nabla }}^{2}G=-4\pi \delta$,

де

$G=\frac{1}{r}$ — функція Гріна.

Цей вираз випливає з того, що ${\mathrm{\nabla }}^2\left(\frac{1}{r}\right)$ веде себе подібно до дельта-функції.. Це твердження використовується для доведення того, що вираз для скалярного потенціала:

$\mathrm{\Phi }(x)=\int \frac{\varrho (x^{\prime })}{|x-x^{\prime }|}{d}^3{x}^{\prime }$

задовольняє рівнянню Пуасона:

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=4\pi \varrho$.

Таким чином, дельта-функція є потужним математичним апаратом для опису складних фізичних процесів.

Див. також

• Функція Гевісайда

Література

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Публікація