Невироджена матриця

Неви́роджена ма́триця (неособли́ва, несингуля́рна, інверто́вана) — квадратна матриця, визначник якої не дорівнює нулю:

$\det (A)\ne 0.$

Властивості

• Рядки і стовпці невиродженої матриці лінійно незалежні.
• Ранг матриці дорівнює розмірності матриці.
• У невиродженої матриці є обернена матриця. Це еквівалентно тому, що лінійний оператор, який задається матрицею А є бієкцією векторного простору.
• Якщо матриця $A$ — невироджена, то система рівнянь $Ax=0$ має тільки нульовий розв'язок.
• Матриця є невиродженою тоді і тільки тоді якщо всі її власні значення є ненульовими.

Приклад

• Одинична матриця є невиродженою.
• Матриця повороту є невиродженою.

Методи обернення матриці

Обернення блоками

Також матриці можна обернути блоками через використання такої формули:

${\left[\begin{array}{cc}𝐀& 𝐁\\ 𝐂& 𝐃\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{𝐀}^{-1}+{𝐀}^{-1}𝐁(𝐃-{𝐂𝐀}^{-1}𝐁{)}^{-1}{𝐂𝐀}^{-1}& -{𝐀}^{-1}𝐁(𝐃-{𝐂𝐀}^{-1}𝐁{)}^{-1}\\ -(𝐃-{𝐂𝐀}^{-1}𝐁{)}^{-1}{𝐂𝐀}^{-1}& (𝐃-{𝐂𝐀}^{-1}𝐁{)}^{-1}\end{array}\right]$

$(1)$

де A, B, C і D це блоки матриці довільного розміру. (A і D повинні бути квадратними, щоб їх можна було обернути. Більше того, A і D−CA⁻¹B повинна бути невиродженою.) Цей підхід особливо вигідний якщо A є діагональною і D−CA⁻¹B (доповнення Щура щодо A) це маленька матриця, оскільки лише ці дві матриці потребують обернення.

Теорема виродженості говорить про те, що виродженість A дорівнює виродженості підблока в нижньому правому куті оберненої матриці, і що виродженість B дорівнює виродженості підблока в горішньому правому куті оберненої матриці.

Процедура обернення, що призвела до рівняння (1) виконувала блокові матричні операції, які спочатку працювали на C і D . Натомість, якщо почати з A і B, і за умови несингулярності D і A−BD⁻¹C , результатом є

${\left[\begin{array}{cc}𝐀& 𝐁\\ 𝐂& 𝐃\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}(𝐀-{𝐁𝐃}^{-1}𝐂{)}^{-1}& -(𝐀-{𝐁𝐃}^{-1}𝐂{)}^{-1}{𝐁𝐃}^{-1}\\ -{𝐃}^{-1}𝐂(𝐀-{𝐁𝐃}^{-1}𝐂{)}^{-1}& {𝐃}^{-1}+{𝐃}^{-1}𝐂(𝐀-{𝐁𝐃}^{-1}𝐂{)}^{-1}{𝐁𝐃}^{-1}\end{array}\right].$

$(2)$

Прирівнявши (1) і (2) отримуємо

$(𝐀-{𝐁𝐃}^{-1}𝐂{)}^{-1}={𝐀}^{-1}+{𝐀}^{-1}𝐁(𝐃-{𝐂𝐀}^{-1}𝐁{)}^{-1}{𝐂𝐀}^{-1}$

$(3)$

$(𝐀-{𝐁𝐃}^{-1}𝐂{)}^{-1}{𝐁𝐃}^{-1}={𝐀}^{-1}𝐁(𝐃-{𝐂𝐀}^{-1}𝐁{)}^{-1}$

${𝐃}^{-1}𝐂(𝐀-{𝐁𝐃}^{-1}𝐂{)}^{-1}=(𝐃-{𝐂𝐀}^{-1}𝐁{)}^{-1}{𝐂𝐀}^{-1}$

${𝐃}^{-1}+{𝐃}^{-1}𝐂(𝐀-{𝐁𝐃}^{-1}𝐂{)}^{-1}{𝐁𝐃}^{-1}=(𝐃-{𝐂𝐀}^{-1}𝐁{)}^{-1}$

де рівняння (3) є лемою обернення матриці.

Оскільки поблокове обернення $n\times n$ матриці потребує обернення двох матриць половинного розміру і 6 множень між матрицями половинного розміру, можна показати, що алгоритм розділяй та володарюй, який використовує поблокове обернення для обернення матриці виконується з такою ж часовою складністю, що й алгоритм множення матриць.

Див. також

• Теорія матриць
• Вироджена матриця
• Союзна матриця

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць